如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸的正半軸,矩形OABC
的面積為36,以AO為直徑作⊙D,2OC=9AD
(1)求圓心D的坐標(biāo);
(2)動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),過P作⊙D的切線交x軸于Q,切點(diǎn)為E,若OQ的長(zhǎng)度為y,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí)△PDQ與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似?
分析:(1)設(shè)AD=r,表示出AO、OC,然后根據(jù)矩形的面積列式求解即可得到r,再寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可;
(2)根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得∠APD=∠EPD,∠OQD=∠EQD,然后求出∠APD+∠OQD=90°,再求出∠APD+∠ADP=90°,從而得到∠ADP=∠OQD,然后求出△ADP和△OQD相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解,根據(jù)AB的長(zhǎng)度寫出t的取值范圍;
(3)利用勾股定理列式求出DP、DQ,然后求出
DP
DQ
,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例分兩種情況列出比例式計(jì)算即可得解.
解答:解:(1)設(shè)AD=r,則AO=2r,
∵2OC=9AD,
∴OC=
9
2
r,
∴矩形OABC的面積=AO•OC=2r•
9
2
r=9r2=36,
解得r=2,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2);

(2)由切線長(zhǎng)定理得,∠APD=∠EPD,∠OQD=∠EQD,
∵AB∥OC,
∴∠APD+∠EPD+∠OQD+∠EQD=180°,
∴∠APD+∠OQD=90°,
∵∠OAB=90°,
∴∠APD+∠ADP=90°,
∴∠ADP=∠OQD,
又∵∠OAB=∠AOC=90°,
∴△ADP∽△OQD,
AP
OD
=
AD
OQ

t
2
=
2
y
,
∴y=
4
t

∵OC=
9
2
r=
9
2
×2=9,
∴0<t<9;

(3)由勾股定理得,DP=
AP2+AD2
=
t2+22
=
t2+4
,
DQ=
OQ2+OD2
=
(
4
t
)
2
+22
=
16
t2
+4
,
DP
DQ
=
t2+4
16
t2
+4
=
t
2
,
∵∠APD+∠OQD=90°,
∴∠PQD+∠QPD=90°,
∴∠PDQ=90°,
∵△PDQ與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似,
DP
DQ
=
PB
BC
DP
DQ
=
BC
PB
,
t
2
=
9-t
4
t
2
=
4
9-t
,
整理得,2t=9-t或t2-9t+8=0,
解得t=3或t1=1,t2=8,
∵0<t<9,
∴t為1秒或3秒或8秒時(shí),△PDQ與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似.
點(diǎn)評(píng):本題是圓的綜合題型,主要利用了切線長(zhǎng)定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),(2)求出兩三角形相似是解題的關(guān)鍵,(3)要注意分情況討論.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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