Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過(guò)原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E．
（1）求過(guò)點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與
線段OC交于點(diǎn)G．如果EF=2OG，求點(diǎn)Ｇ的坐標(biāo)．
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與
AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存
在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°
∴∠AOD=∠DOC=45°
∵在矩形ABCD中，
∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3
∴△AOD是等腰Rt△   ………………………………1分
∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°
∴∠AOE=∠BCD
∴△AED≌△BDC
∴AE=DB=1
∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)   …………………………2分
則過(guò)D、E、C三點(diǎn)的拋物線解析式為： ……………3分
（2）DH⊥OC于點(diǎn)H,

∴∠DHO=90°
∵矩形 ABCD中, ∠BAO=∠AOC=90°
∴四邊形AOHD是矩形
∴∠ADH=90°.
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∵AD=OA=2，
∴四邊形AOHD是正方形.
∴△FAD≌△GHD
∴FA=GH         ………………………………4分
∴設(shè)點(diǎn) G（x，0），
∴OG=x，GH=2-x
∵EF=2OG=2x，AE=1，
∴2-x=2x-1，
∴x=1.
∴G(1,0)          ……………………………………………5分
(3)由題意可知點(diǎn)P若存在，則必在AB上，假設(shè)存在點(diǎn)P使△PCG是等腰三角形
1）當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)，既 CP=GP時(shí)，
易求得P₁（2,2），既為點(diǎn)D時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)Q、與點(diǎn)P₁、點(diǎn)D重合，
∴點(diǎn)Q₁(2,2)                   ……………………………………………6分
2)當(dāng)點(diǎn)C為頂點(diǎn)，既 CP=CG=2時(shí), 易求得P₂(3,2)          

∴直線GP₂的解析式：
求交點(diǎn)Q: 
可求的交點(diǎn)（）和（-1，-2）
∵點(diǎn)Q在第一象限
∴Q₂（）            ……………………………………………7分
3)當(dāng)點(diǎn)G為頂點(diǎn)，既 GP=CG=2時(shí), 易求得P₃(1,2)
∴直線GP₃的解析式：
求交點(diǎn)Q:
可求的交點(diǎn)（）
∴Q₃（）          ……………………………………………8分
所以，所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q₁(2,2)、Q₂（）、Q₃（）．解析:
略