Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞a＞0），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交y軸于點(diǎn)E．
（1）求證：OC=AD．
（2）隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使OA：AC=1：3時(shí)，求出此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）證明：∵△AOB和△CBD是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
∵BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
OB=AB，∠OBC=∠ABD，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD，
∴OC=AD．

（2）E點(diǎn)的位置不會(huì)發(fā)生變化，
∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2a，
∴OE=

3

a，
∴點(diǎn)E的位置不會(huì)發(fā)生變化，E的坐標(biāo)為E（0，

3

a）；

（3）作DM⊥y軸，
∵∠MED=30°，OA=a，OA：AC=1：3，AE=2a，AD=OC，
∴ED=6a，
∴MD=3a，
∴EM=3

3

a，
∴OM=2

3

a，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3a，-2

3

a）．