Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊A0與AB重合，得到△ABD．

 (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)(，0)時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中是否存在某個(gè)位置，使△OPD的面積等于，若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）(2，2)（2）(，)(3) P₁ (，0)，P₂(一，0，P₃(-，0)，P₄(，0)

【解析】解：(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，2)                                    

 (2)如圖D3—7，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，延長EB交DH于點(diǎn)G，則BG⊥DH．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．

∴BG=BD·cos60°=×=．DG=BD·sin60°=×=．

                                                    

∴OH=EG=, DH=．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．

(3)假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動過程中，△OPD的面積等于．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，0)，下面分三種情況討論：

①t>0時(shí)，如圖D3—8，BD=OP=t，DG=t，

∴DH=2+t．∵△OPD的面積等于，∴t(2+t)=，

解得t₁=,t₂= (舍去)．

∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為(，0)．                   

②當(dāng)-<t≦0時(shí)，如圖3-9，BD=OP=-t,BG=-t

∴DH=GF=2-(-t)=2+t

∵△OPD的面積等于．∴-t(2+t)= ，

解得t₁=-，t₂=-．   

∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為(一，0)，點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為(-，0)    

③當(dāng)t≤-時(shí)，如圖D3-10,BD=0P=-t，DG=-t，

∴DH=-t-2．∵OPD的面積等于，∴t(2+t)=

解得t₁= (舍去)，t₂=．

∴點(diǎn)P₄的坐標(biāo)為(，0)．                           

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁ (，0)，P₂(一，0，P₃(-，0)，P₄(，0)

 (1)過B作x軸的垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出B點(diǎn)的坐標(biāo)

(2) 過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，延長EB交DH于點(diǎn)G，則BG⊥DH，利用三角函數(shù)求出DG的長，通過OH=EG和DH的長，確定點(diǎn)D的坐標(biāo)

(3) 假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動過程中，△OPD的面積等于．分三種情況進(jìn)行討論，分別求得點(diǎn)P的坐標(biāo)