Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD中，邊AB=2，邊AD=1，且AB、AD分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在邊DC上，設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A落在邊DC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)矩形ABCD沿直線y=-

1

2

x+b折疊時(shí)（如圖1），求點(diǎn)A′的坐標(biāo)和b的值；

（2）當(dāng)矩形ABCD沿直線y=kx+b折疊時(shí)，
①求點(diǎn)A′的坐標(biāo)（用k表示）；求出k和b之間的關(guān)系式；
②如果我們把折痕所在的直線與矩形的位置分為如圖2、3、4所示的三種情形，請(qǐng)你分別寫出每種情形時(shí)k的取值范圍．（將答案直接填在每種情形下的橫線上）k的取值范圍是

 

；k的取值范圍是

 

；k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線y=-

1

2

x+b與CD交于點(diǎn)E，與OB交于點(diǎn)F，連接A′O，則OE=b，OF=2b，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a，1），根據(jù)△DOA′∽△OFE，所得

DA′

OE

=

DO

OF

，即

a

b

=

1

2b

，所以a=

1

2

．可得點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（

1

2

，1），連接A′E，則A′E=OE=b，根據(jù)勾股定理有A′E²=A′D²+DE²，即b²=（

1

2

）²+（1-b）²，解得b=

5

8

；
（2）設(shè)直線y=kx+b與OD交于點(diǎn)E，與OB交于點(diǎn)F，連接A′O，則OE=b，OF=-

b

k

，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a，1）可證△DOA′∽△OFE，所以

DA′

OE

=

DO

OF

，即

a

b

=

1

- b k

，所以a=-k，A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（-k，1），連接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b，根據(jù)A′E²=A′D²+DE²，得b²=（-k）²+（1-b）²，所以b=

k2+1

2

．
（3）根據(jù)圖象和矩形的邊長(zhǎng)可直接得出k的取值范圍，在題中圖2中：-2≤k≤-1；圖3中：-1≤k≤-2+

3

；圖4中：-2+

3

≤k≤0．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)直線y=-

1

2

x+b與CD交于點(diǎn)E，與OB交于點(diǎn)F，與y軸交于G點(diǎn)，連接A'O，則OE=b，OF=2b，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴

DA′

OE

=

OD

OF

，即

a

b

=

1

2b

，
∴a=

1

2

，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（

1

2

，1），
連接A′E，則A′E=OE=b，
在Rt△DEA′中，根據(jù)勾股定理有A′E²=A′D²+DE²，
即b²=（

1

2

）²+（1-b）²，
解得b=

5

8

；

（2）如圖1，設(shè)直線y=kx+b與OD交于點(diǎn)E，與OB交于點(diǎn)F，連接A'O，則：
OE=b，OF=-

b

k

，
設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A'OF=90度，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴

DA′

OE

=

DO

OF

，即

a

b

=

1

- b k

，
∴a=-k．
∴A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（-k，1）．（7分）
連接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b．
∵A′E²=A′D²+DE²，
∴b²=（-k）²+（1-b）²，
∴b=

k2+1

2

；

（3）在題中圖2中：-2≤k≤-1；
圖3中：-1≤k≤-2+

3

；
圖4中：-2+

3

≤k≤0．

點(diǎn)評(píng)：這是一道有關(guān)折疊的問(wèn)題，主要考查一次函數(shù)、四邊形、相似形等知識(shí)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．