Question

12．如圖，已知正方形OABC的邊長為4，頂點A、C分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，M是BC的中點．P（0，n）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D．
（1）求點D的坐標（用含n的代數式表示）；
（2）當△APD是以PA為腰的等腰三角形時，求D點坐標．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△DBM≌△PCM，得出BD=CP=4-n，得出AD=AB+BD=8-n，即可得出點D的坐標；
（2）分兩種情況：①當AP=AD時，根據勾股定理得出AP²=OA²+OP²，得出方程4²+n²=（8-n）²，解方程即可求出n的值；
②當AP=DP時，點P在AD的垂直平分線上，得出OP=$\frac{1}{2}$AD，即n=$\frac{1}{2}$（8-n），解方程即可求出n的值．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=4，∠AOC=∠ABC=∠BCO=90°，
∴∠DBM=90°，
∵M是BC的中點，
∴BM=CM，
在△DBM和△PCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠BCO}\\{BM=CM}\\{∠BMD=∠CMP}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△PCM（ASA），
∴BD=CP=4-n，
∴AD=AB+BD=8-n，
∴D的坐標為（-4，8-n）；
（2）當△APD是以AP為腰的等腰三角形時，分兩種情況：
①當AP=AD時，
∵AP²=OA²+OP²，
∴4²+n²=（8-n）²，
解得：n=3，
8-n=5，
D點坐標為（-4，5）；
②當AP=DP時，點P在AD的垂直平分線上，
∴OP=$\frac{1}{2}$AD，
∴n=$\frac{1}{2}$（8-n），
解得：n=$\frac{8}{3}$，
8-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
D點坐標為（-4，$\frac{16}{3}$）；
綜上所述：當△APD是以AP為腰的等腰三角形時，D點坐標為（-4，$\frac{16}{3}$），（-4，5）．

點評 本題是一次函數綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要進行分類討論才能得出結果．