Question

已知：如圖，A是半徑為2的⊙O上的一點(diǎn)，P是OA延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為B，設(shè)PA=m，PB=n．
（1）當(dāng)n=4時(shí)，求m的值；
（2）⊙O上是否存在點(diǎn)C，使△PBC為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，⊙O上存在唯一點(diǎn)M和PB構(gòu)成以PB為底的等腰三角形？并直接答出：此時(shí)⊙O上能與PB構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)共有幾個(gè)？

Answer 1

（1）解法一：連接OB．

∵PB切⊙O于B，
∴∠OBP=90°，
∴PO²=PB²+OB²，
∵PO=2+m，PB=n，OB=2，
∴（2+m）²=n²+2²m²+4m=n²；
n=4時(shí)，
解得：m1=-2

5

-2（舍去），m2=2

5

-2．
∴m的值為2

5

-2．
解法二：延長(zhǎng)PO交⊙O于Q，PAQ為⊙O割線．
又∵PB切⊙O于B，
∴PB²=PA•PQ，
∵PB=n，PA=m，PO=m+4，
∴n²=m²+4m，
當(dāng)n=4時(shí)，解得m1=-2

5

-2（舍去），m2=2

5

-2，
∴m的值為2

5

-2．

（2）存在點(diǎn)C，使△PBC為等邊三角形；
當(dāng)∠OPB=30°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的另一條切線PC，C為切點(diǎn)，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，∴△PBC為等邊三角形；
連接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，
∴m=PA=OP-OA=2．

（3）如圖，設(shè)EF為線段PB的垂直平分線，垂足為D，當(dāng)EF與⊙O相切于點(diǎn)M時(shí)，M符合要求；
連接OB、OM，
∵OB∥DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，
∴四邊形OMDB為正方形，

∴BD=DM=OM=2，
∴n=PB=4．
由（1）得n=4時(shí)，m=2

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-2，
∴當(dāng)m=2

5

-2時(shí)，⊙O上存在唯一點(diǎn)M和PB構(gòu)成以PB為底的等腰三角形，
此時(shí)⊙O上共有3個(gè)點(diǎn)能與PB構(gòu)成等腰三角形．
（這3點(diǎn)分別是M，M₁，M₂．其中M是PB中垂線與⊙O的切點(diǎn)，M₁是延長(zhǎng)BO與⊙O的交點(diǎn)，M₂是點(diǎn)B關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)）