Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與軸的另一交點(diǎn)為(，0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線與拋物線相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在第二象限)，設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，連接A′B，試判斷ΔAA′B的形狀，并說明理由；

(3)在問題(2)的基礎(chǔ)上，探究：平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，A′，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)ΔAA′B是等邊三角形；(3)存在，,,

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線F的解析式；

（2）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B為等邊三角形；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)，可得出存在符合題意得點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），分三種情況考慮：①當(dāng)A′B為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；③當(dāng)AA′為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，0）和(，0)，

∴，解得：；

∴.

（2）ΔAA′B是等邊三角形；

∵，

解得：，

∴A()，B()，

過點(diǎn)A分別作AC⊥軸，AD⊥A′B，垂足分別為C，D，

∴AC=，OC=，

在RtΔAOC中

OA=，

∵點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴A′()，AA′=，

∵B()，

∴A′B=2-(-)=，

又∵A()，B()，

∴AD=，BD=，

在RtΔABD中

AB=，

∴AA′=A′B=AB，

∴ΔAA′B是等邊三角形；

（3）存在符合題意的點(diǎn)P，且以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的菱形分三種情況；

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（x，y）．

①當(dāng)A′B為對(duì)角線時(shí)，有，

解得：，

∴點(diǎn)P為：；

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有，

解得：，

∴點(diǎn)P為：；

③當(dāng)AA′為對(duì)角線時(shí)，有，

解得：，

∴點(diǎn)P為：；

綜合上述，,,.