Question

【題目】如圖，在△OAB中，OA＝OB，C為AB中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓，AO與⊙O交于點E，直線OB與⊙O交于點F和D，連接EF．CF，CF與OA交于點G．

（1）求證：直線AB是的切線；

（2）求證：ODEG＝OGEF；

（3）若AB＝4BD，求sinA的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）sinA＝．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質，證明OC⊥AB即可；

（2）證明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解決問題；

（3）根據勾股定理和三角函數解答即可．

（1）證明：∵OA＝OB，AC＝BC，

∴△ABO是等腰三角形，

∴OC⊥AB，

∴AB是的切線．

（2）證明：∵OA＝OB，AC＝BC，

∴∠AOC＝∠BOC，

∵OE＝OF，

∴∠OFE＝∠OEF，

∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝∠OFE+∠OEF，

∴∠AOC＝∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴，

∴OCEG＝OGEF．

∵OD＝OC，

∴ODEG＝OGEF．

（3）解：∵AB＝4BD，

∴BC＝2BD，設BD＝m，BC＝2m，OC＝OD＝r，

在Rt△BOC中，∵OB2＝OC2+BC2，

即

則OB＝OD+BD＝＝2.5m，

∴sinA＝sinB＝．