Question

如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊作正方形BCDE，設正方形的中心為O，連接AO，如果AB=3，AO=，那么AC的長等于

1. A.
   12
2. B.
   7
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：在AC上截取CF=AB，根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分且相等求出OB=OC，∠BOC=90°，根據(jù)等角的補角相等求出∠OBA=∠OCF，然后利用“邊角邊”證明△ABO和△FCO全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得OF=AO，全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠FOC，然后求出∠AOF=∠BOC=90°，判定出△AOF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍求出AF，再根據(jù)AC=AF+CF，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．
解答：解：如圖，在AC上截取CF=AB，
∵四邊形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠2+∠OCF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠OBA=90°，
∵∠1=∠2（對頂角相等），
∴∠OBA=∠OCF，．
∵在△ABO和△FCO中，
，
∴△ABO≌△FCO（ASA），
∴OF=AO=2，∠AOB=∠FOC，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF=∠BOC=90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴AF=AO=×2=4，
∴AC=AF+CF=4+3=7．
故選B．
點評：本題考查了正方形的對角線互相垂直平分且相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構造出全等三角形與等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．