Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)M為AC上一動(dòng)點(diǎn)，
①當(dāng)M運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線(xiàn)段DM的長(zhǎng)度最短，試在圖1中畫(huà)出符合要求的線(xiàn)段DM，并求此時(shí)DM的長(zhǎng)；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至AC中點(diǎn)處時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．求當(dāng)t 為何值時(shí)，將矩形ABCD沿直線(xiàn)MN折疊，可使得點(diǎn)C恰與點(diǎn)A重合？

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）①作DE⊥AC于點(diǎn)E，此時(shí)，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)DM長(zhǎng)度最短，在矩形ABCD中根據(jù)S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

AC•DE即可得出DE的長(zhǎng)；
②當(dāng)N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使MN⊥AC于點(diǎn)M時(shí)，矩形ABCD沿直線(xiàn)MN折疊，折疊后點(diǎn)C恰與點(diǎn)A重合，連結(jié)AN．設(shè)CN=x，由于點(diǎn)A、C關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)，所以AN=NC=x，故BN=BC-CN=8-x，在Rt△ABN中根據(jù)AB²+BN²=AN²即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠B=90°
∴AB²+BC²=AC²，即6²+8²=AC²，
解得，AC=10；

（2）①如圖1，作DE⊥AC于點(diǎn)E，此時(shí)，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)DM長(zhǎng)度最短，
在矩形ABCD中，AD=BC=8，CD=AB=6，
∵S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

AC•DE，即

1

2

×6×8=

1

2

×10×DE，
∴DE=

24

5

；
②如圖2，當(dāng)N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使MN⊥AC于點(diǎn)M時(shí)，矩形ABCD沿直線(xiàn)MN折疊，折疊后點(diǎn)C恰與點(diǎn)A重合，連結(jié)AN．設(shè)CN=x，
∵點(diǎn)A、C關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)，
∴AN=NC=x
∴BN=BC-CN=8-x，
在Rt△ABN中由勾股定理得，AB²+BN²=AN²，即6²+（8-x）²=x²
解得x=

25

4

，
所以t=

25

4

÷1=

25

4

（秒）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及圖形反折變換的性質(zhì)，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．