在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以點A(3,0)為圓心,5為半徑的圓與x軸相交于點B、C(點B在點C的左邊),與y軸相交于點D、M(點D在點M的下方).
(1)求以直線x=3為對稱軸,且經(jīng)過D、C兩點的拋物線的解析式;
(2)若E為直線x=3上的任一點,則在拋物線上是否存在這樣的點F,使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點F的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)由點A的坐標(biāo)求出B、C的坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理求出D的坐標(biāo),設(shè)出拋物線的解析式,由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)從兩種情況進(jìn)行解答,當(dāng)BC為平行四邊形的一邊時,必有 EF∥BC,且EF=BC=10.設(shè)出F的坐標(biāo),代入拋物線的解析式,可以求出符合條件的點F有兩個如(圖1);當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時,有AE=AF,如(圖2).根據(jù)拋物線的對稱性就可以求出點F的坐標(biāo).
解答:解:(1)如圖,∵圓以點A(3,0)為圓心,5為半徑,
∴根據(jù)圓的對稱性可知 B(-2,0),C(8,0).
連接AD.
在Rt△AOD中,∠AOD=90°,OA=3,AD=5,
∴OD=4.
∴點D的坐標(biāo)為(0,-4).
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx-4,
又∵拋物線經(jīng)過點C(8,0),且對稱軸為x=3,

解得  
∴所求的拋物線的解析式為 

(2)存在符合條件的點F,使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形.
分兩種情況.
Ⅰ:當(dāng)BC為平行四邊形的一邊時,
必有 EF∥BC,且EF=BC=10.
∴由拋物線的對稱性可知,
存在平行四邊形BCEF1和平行四邊形CBEF2.如(圖1).
∵E點在拋物線的對稱軸上,∴設(shè)點E為(3,e),且e>0.
則F1(-7,t),F(xiàn)2(13,t).
將點F1、F2分別代入拋物線的解析式,解得 
∴F點的坐標(biāo)為
Ⅱ:當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時,
必有AE=AF,如(圖2).
∵點F在拋物線上,∴點F必為拋物線的頂點.

知拋物線的頂點坐標(biāo)是(3,).
∴此時F點的坐標(biāo)為
∴在拋物線上存在點F,使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形.
滿足條件的點F的坐標(biāo)分別為:,,

點評:本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,平行四邊形的判定及性質(zhì),勾股定理的運用.
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(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于C 點,D是線段BC上一點(不與點B、C重合),若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似,求點D的坐標(biāo);
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(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
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