Question

在三邊長(zhǎng)為自然數(shù)、周長(zhǎng)不超過100、最長(zhǎng)邊與最短邊之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有    個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)三邊長(zhǎng)為a、b、c滿足a≤b≤c，根據(jù)最長(zhǎng)邊與最短邊之差不大于2，得出最長(zhǎng)邊與最短邊之差等于0、1或2，（1）當(dāng)差為0時(shí)，有a=n，b=n，c=n；（2）當(dāng)差為1時(shí)，有①a=n，b=n，c=n+1；②a=n，b=n+1，c=n+1；（2）當(dāng)差為2時(shí)，有①a=n，b=n，c=n+2；②a=n，b=n+1，c=n+2；③a=n，b=n+2，c=n+2；從而將各種情況下符合條件的n的值相加可得出結(jié)果．
解答：解：設(shè)三邊長(zhǎng)為a、b、c滿足a≤b≤c，
∵最長(zhǎng)邊與最短邊之差不大于2，
∴最長(zhǎng)邊與最短邊之差等于0、1或2，
（1）當(dāng)差為0時(shí)，有a=n，b=n，c=n，
此時(shí)a+b+c=3n≤100，n可取1，2，…33，共33種方法；
（2）當(dāng)差為1時(shí)，①a=n，b=n，c=n+1；
此時(shí)a+b+c=3n+1≤100，n可取2，…33，共32種方法；
②a=n，b=n+1，c=n+1，
此時(shí)a+b+c=3n+2≤100，n可取1，2，…32，共32種方法；
（2）當(dāng)差為2時(shí)，有①a=n，b=n，c=n+2，
此時(shí)a+b+c=3n+2≤100，n可取3，4，…32，共30種方法；
②a=n，b=n+1，c=n+2；
此時(shí)a+b+c=3n+3≤100，n可取2，…32，共31種方法；
③a=n，b=n+2，c=n+2，
此時(shí)a+b+c=3n+4≤100，n可取1，2，…32，共32種方法；
綜上可得一共可以構(gòu)成33+32+32+30+31+32=190個(gè)．
故答案為：190．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的三邊關(guān)系，從頭至尾貫穿了分類討論的思想，解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于得出最長(zhǎng)邊與最短邊之差等于0、1或2，然后根據(jù)最長(zhǎng)邊與最短邊的差設(shè)置三邊長(zhǎng)，注意一定要兼顧兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，否則會(huì)造成多解．