【題目】已知,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且ED=EC.
(1)(特殊情況,探索結(jié)論)
如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系,請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論:
AE DB(填“>”、“<”或“=”).
(2)(特例啟發(fā),解答題目)
如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí),確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系,請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論,AE DB(填“>”、“<”或“=”);理由如下,過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F.(請(qǐng)你將解答過(guò)程完整寫(xiě)下來(lái)).
(3)(拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題)
在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上,點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且ED=EC,若△ABC的邊長(zhǎng)為1,AE=2,求CD的長(zhǎng).(請(qǐng)你畫(huà)出相應(yīng)圖形,并直接寫(xiě)出結(jié)果).
【答案】(1)=;(2)=;理由見(jiàn)解析;(3)3.
【解析】
(1)由E為等邊三角形AB邊的中點(diǎn),利用三線(xiàn)合一得到CE垂直于AB,且CE為角平分線(xiàn),由ED=EC,利用等邊對(duì)等角及等腰三角形的性質(zhì)得到一對(duì)角相等,利用等角對(duì)等邊即可得證;
(2)AE=DB,理由如下,過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F,由三角形ABC為等邊三角形,得到三角形AEF為等邊三角形,進(jìn)而得到AE=EF=AF,BE=FC,再由ED=EC,以及等式的性質(zhì)得到夾角相等,利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DB=EF,等量代換即可得證;
(3)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖所示,同理可得△DBE≌△EFC,由BC+DB求出CD的長(zhǎng)即可.
(1)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),AE=DB;
(2)AE=DB,理由如下,過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F,
證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴△AEF為等邊三角形,
∴AE=EF,BE=CF,
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD,
∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF,
在△DBE和△EFC中,
,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
則AE=DB;
(3)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖所示,同理可得△DBE≌△EFC,
∴DB=EF=2,BC=1,
則CD=BC+DB=3.
故答案為:(1)=;(2)=(3)3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)AB交y軸于A(0,a),交x軸于B(b,0),且a,b滿(mǎn)足(a﹣b)2+|3a+5b﹣88|=0.
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)如圖1,已知點(diǎn)D(2,5),求點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AB對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C的坐標(biāo).
(3)如圖2,若P是∠OBA的角平分線(xiàn)上的一點(diǎn),∠APO=67.5°,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把兩個(gè)直角三角形如圖放置,使與重合,與相交于點(diǎn),其中,,,,.
圖中線(xiàn)段的長(zhǎng)________;________
如圖,把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得,與相交于點(diǎn),若恰好是以為底邊的等腰三角形,求線(xiàn)段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,在邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格中,的頂點(diǎn)、均在格點(diǎn)上,點(diǎn)在軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為________;
繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到,那么點(diǎn)的坐標(biāo)為________;線(xiàn)段在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,BC=20 cm,P,Q,M,N分別從A,B,C,D出發(fā),沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng),當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)即停止.已知在相同時(shí)間內(nèi),若BQ=x cm(x≠0),則AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2 cm,
(1)當(dāng)x為何值時(shí),點(diǎn)P,N重合;
(2)當(dāng)x為何值是,以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,羊年春節(jié)到了,小明親手制作了張一樣的卡片,在每張卡片上分別寫(xiě)上“新”“年”“好”三個(gè)字,并隨機(jī)放入一個(gè)不透明的信封中,然后讓小芳分三次從信封中摸張卡片(每次摸張,摸出不放回).
小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是多少?
請(qǐng)通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表,求小芳先后抽取的張卡片分別是“新年好”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店需要購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共160件,其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:(注:獲利=售價(jià)-進(jìn)價(jià))
(1)若商店計(jì)劃銷(xiāo)售完這批商品后能獲利1100元,問(wèn)甲、乙兩種商品應(yīng)分別購(gòu)進(jìn)多少件?
(2)若商店計(jì)劃投入資金少于4290元,且銷(xiāo)售完這批商品后獲利多于1260元,請(qǐng)問(wèn)共有幾種購(gòu)貨方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1;④a﹣2b+c>0.其中正確的命題是 .
A. ① ② B. ① ② ③ C. ③ ④ D. ① ③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店銷(xiāo)售甲、乙兩種羽毛球,已知甲種羽毛球每筒的售價(jià)比乙種羽毛球多15元,王老師從該網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)了2筒甲種羽毛球和3筒乙種羽毛球,共花費(fèi)255元.
(1)該網(wǎng)店甲、乙兩種羽毛球每筒的售價(jià)各是多少元?
(2)根據(jù)消費(fèi)者需求,該網(wǎng)店決定用不超過(guò)8780元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種羽毛球共200筒,且甲種羽毛球的數(shù)量大于乙種羽毛球數(shù)量的,已知甲種羽毛球每筒的進(jìn)價(jià)為50元,乙種羽毛球每筒的進(jìn)價(jià)為40元.
①若設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種羽毛球m筒,則該網(wǎng)店有哪幾種進(jìn)貨方案?
②若所購(gòu)進(jìn)羽毛球均可全部售出,請(qǐng)求出網(wǎng)店所獲利潤(rùn)W(元)與甲種羽毛球進(jìn)貨量m(筒)之間的函數(shù)關(guān)系式,并說(shuō)明當(dāng)m為何值時(shí)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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