Question

平面上給定四個點，兩兩連接這四點的諸直線不平行，不垂直，也不重合．過每一點作其余三點兩兩連接的直線的垂線，若不算已知的四點，這些垂線間有多少個不同交點？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：首先求出過每一點作其余三點兩兩連接的直線的垂線的條數(shù)，然后求出過4個點能作出的總的垂線條數(shù)，最后根據(jù)組合的知識求出這些垂線間交點的個數(shù)．

解答：解：從A點出發(fā)的三個垂線有一個交點，記數(shù)1；
   從A點出發(fā)的三個垂線與從B點出發(fā)的三個垂線中各有一條線與CD垂直，故從A出發(fā)的與CD垂直的直線與B點出發(fā)的三個垂線有兩個交點，從A點出發(fā)的另兩個垂線與B點出發(fā)的三個垂線各有三個交點，故從A，B出發(fā)的垂線的交點個數(shù)為2+3+3=8；
 同理從A，C； A，D出發(fā)的垂線的交點個數(shù)也為2+3+3=8；
從B，D；B，C；C，D出發(fā)的垂線交點個數(shù)也為8個，而各點出發(fā)的三條垂線本身一個交點，由此可得1+1+1+1+8×6=52．

點評：本題主要考查排列與組合的知識，解答本題的關(guān)鍵是求出這些點過另外3點兩兩連接的直線的垂線的條數(shù)，再利用組合的知識很容易解答，本題難度一般．