Question

 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=10厘米，OC=6厘米，現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，A同時出發(fā)，點P在線段OA上沿OA方向作勻速運動，點Q在線段AB上沿AB方向作勻速運動，已知點P的運動速度為1厘米／秒．

(1) 設(shè)點Q的運動速度為厘米／秒，運動時間為t秒，

① 當(dāng)△CPQ的面積最小時，求點Q的坐標(biāo)；

② 當(dāng)△COP和△PAQ相似時，求點Q的坐標(biāo)．

(2) 設(shè)點Q的運動速度為a厘米／秒，問是否存在a的值，使得 △OCP與△PAQ和△CBQ這兩個三角形都相似？若存在，請求出a的值，并寫出此時Q點坐標(biāo)．

Answer 1

解：(1)　

①

 (0≤t≤10)．                                2分

故當(dāng)t=6時，最小值為21，

此時點Q的坐標(biāo)為（10，3）．                                      1分

②　如圖，當(dāng)∠1=∠2時，，

∴  ，

，

解得，（舍去）．

當(dāng)∠1=∠3時，，解得 ．                             2分

因此，當(dāng)或7時，即當(dāng)Q點的坐標(biāo)為（10，）或（10，）時△COP和△PAQ相似．                                         1分

(2)　假設(shè)存在a的值，使△OCP與△PAQ，△CBQ這兩個三角形都相似，

設(shè)此時P，Q運動的時間為t秒，則OP=t，AQ=at．

① 當(dāng)∠1=∠3=∠4時，，．

解得(舍去)．

此時，Q點的坐標(biāo)為（10，）．                              2分

② 當(dāng)∠1=∠3=∠5時，∠CPQ=∠CQP=90°不成立；                  1分

③ 當(dāng)∠1=∠2=∠4時，，．

即有  　　　　　　　　　　

由②，得 ，

代入①，得 ，

整理，得，△＜0，

方程無實數(shù)解；                                                 2分

④ 當(dāng)∠1=∠2=∠5時，由圖可知∠1=∠PCB＞∠5，

故不存在這樣的a值．                                            1分

綜上所述，存在a的值，使△OCP與△PAQ和△CBQ這兩個三角形都相似，

此時，點Q的坐標(biāo)為（10，）．