Question

18．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點D在AB邊上，∠EDF=60°．

（1）當(dāng)點D為AB中點時，且∠EDF的兩邊分別交線段AC、BC于點E、F，連接CD，過點D作DG⊥AC于點G，DH⊥BC于點H，如圖（1），求證：DE=DF；
（2）過C作BC的垂線交AB恰好為D，若∠EDF的兩邊分別交線段AC、BC于點E，F(xiàn)，如圖（2），求$\frac{DE}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定義得到∠DGE=∠DHF=90°根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD平分∠ACB，DG=DH，等量代換得到∠DFH=∠DEG，推出△DGE≌△DHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF；
（2）由垂直的定義得到∠DCB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠A=∠B=30°，于是得到BD=2CD，推出∠BDC=60°，于是得到∠BDF+∠CDF=60°等量代換得到∠CDE=∠BDF，太遲△CDE∽△BDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵DG⊥AC，DH⊥BC，
∴∠DGE=∠DHF=90°，
∵AC=BC，點D為AB中點，
∴CD平分∠ACB，
∴DG=DH，
∵∠ACB=120°，∠EDF=60°，
∴∠DEC+∠DFH=180°，
∵∠DEC+∠DEG=180°，
∴∠DFH=∠DEG，
在△DGE與△DHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠DHF}\\{∠DFH=∠DEG}\\{DG=DH}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△DHF，
∴DE=DF，

（2）∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∵∠ACB=120°，AC=BC，
∴∠ACD=∠A=∠B=30°，
∴BD=2CD，∴∠BDC=60°，
∴∠BDF+∠CDF=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠CDF+CDE=60°，
∴∠CDE=∠BDF，
∴△CDE∽△BDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，角平分線的定義，證得△CDE∽△BDF是解題的關(guān)鍵．