Question

如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠BPC=60°，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點D．

（1）求證：△ADP∽△BDA；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）若AD=2，PD=1，求線段BC的長．

　

Answer 1

（1）證明：作⊙O的直徑AE，連接PE，

∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，

∴∠DAE=∠APE=90°，

∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，

∴∠PAD=∠E，

∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，

∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，

∴△ADP∽△BDA；

（2）PA+PB=PC，

證明：在線段PC上截取PF=PB，連接BF，

∵PF=PB，∠BPC=60°，

∴△PBF是等邊三角形，

∴PB=BF，∠BFP=60°，

∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，

∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠BPA=∠BFC，

在△BPA和△BFC中，，

∴△BPA≌△BFC（AAS），

∴PA=FC，AB=BC，

∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）解：∵△ADP∽△BDA，

∴==，

∵AD=2，PD=1

∴BD=4，AB=2AP，

∴BP=BD﹣DP=3，

∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，

∴∠APD=∠APC，

∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，

∴PAD=∠PCA，

∴△ADP∽△CAP，

∴=，

∴AP²=CP•PD，

∴AP²=（3+AP）•1，

解得：AP=或AP=（舍去），

∴BC=AB=2AP=1+．