Question

如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）．平行于對角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

(1) 點(diǎn)A的坐標(biāo)是__________，點(diǎn)C的坐標(biāo)是__________；

 (2) 當(dāng)t=       秒或      秒時(shí)，MN=AC；

(3) 設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(4) 探求(3)中得到的函數(shù)S有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，要說明理由．

Answer 1

解：(1)（4，0），（0，3）； 

(2) 2，6；

(3) 當(dāng)0＜t≤4時(shí)，OM=t．

由△OMN∽△OAC，得，

∴ ON=，S=． 

當(dāng)4＜t＜8時(shí)，

如圖，

∵ OD=t，∴ AD= t-4．

方法一：

由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-．

由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴ CN=t-4．

S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積- Rt△MBN的面積- Rt△NCO的面積

=12--（8-t）（6-）-

=． 

方法二：

易知四邊形ADNC是平行四邊形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t．

由△BMN∽△BAC，可得BM==6-，∴ AM=

以下同方法一．

 (4) 有最大值．

方法一：

當(dāng)0＜t≤4時(shí)，

∵ 拋物線S=的開口向上，在對稱軸t=0的右邊， S隨t的增大而增大，

∴ 當(dāng)t=4時(shí)，S可取到最大值=6；

當(dāng)4＜t＜8時(shí)，

∵ 拋物線S=的開口向下，它的頂點(diǎn)是（4，6），∴ S＜6．

綜上，當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值6．

方法二：

∵ S=

∴ 當(dāng)0＜t＜8時(shí)，畫出S與t的函數(shù)關(guān)系圖像，如下圖所示．

顯然，當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值6．