Question

2．如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點，與x軸交于另一點D．一動點P以每秒1個單位長度的速度從B點出發(fā)沿BA向點A運動；同時一動點Q從點D出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿DO向點O運動，運動到點O停止，點Q與點P同時停止．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△BCM以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)Q運動時間t為何值時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB、OB的長，即可得到A、B點的坐標(biāo)；由于四邊形ABCO是平行四邊形，則AB=OC，由此可求出OC的長，即可得到C點的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出D點的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸方程，使得△BCM以BC為腰的等腰三角形，則BC=BM，進(jìn)而可求出點M的坐標(biāo)；
（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，對應(yīng)相等，若以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似，則有兩種情況：①P、Q在y軸同側(cè)，②P、Q在y軸兩側(cè)；每種情況又分為△PBO∽△QOB（此時兩者全等），△PBO∽△BOQ兩種情況；根據(jù)不同的相似三角形所得到的不同的比例線段即可求出t的值．

解答 解：
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點B，
∴c=2．
由題意，有$\left\{\begin{array}{l}16a-4b+2=0\\ 16a+4b+2=2.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{16}\\ b=\frac{1}{4}.\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的解析式為$y=-\frac{1}{16}{x^2}+\frac{1}{4}x+2$；
（2）在拋物線的對稱軸上存在點M，使得△BCM以BC為腰的等腰三角形，理由如下：
設(shè)拋物線的對稱軸與AB交于點E，將拋物線的解析式配方，得$y=-\frac{1}{16}{（{x-2}）^2}+2\frac{1}{4}$．
∴拋物線的對稱軸為x=2，
若使得△BCM以BC為腰的等腰三角形，則△OBC≌△EBM，
所以M的坐標(biāo)為（2，6），（2，-2）；
（3）若使以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴有$\frac{BP}{OB}=\frac{OQ}{BO}$或$\frac{BP}{OB}=\frac{BO}{OQ}$，
即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y軸的同側(cè)．如圖1

當(dāng)PB=OQ時，t=8-3t，
∴t=2．
當(dāng)OB²=PB•QO時，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得${t_1}=2，{t_2}=\frac{2}{3}$．
②當(dāng)P、Q在y軸的兩側(cè)；如圖2

當(dāng)PB=OQ時，Q、C重合，P、A重合，此時t=4；
當(dāng)OB²=PB•QO時，t（3t-8）=4，
即3t²-8t-4=0，
解得t=$\frac{4±2\sqrt{7}}{3}$；
∵t=$\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$＜0，故舍去；
∴t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$；
∴當(dāng)t=2或t=$\frac{2}{3}$，t=4或t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$秒時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似．

點評 本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的運用及數(shù)學(xué)分類思想的運用．