Question

7．如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，對角線AC，BD相交于O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于E，F．
（1）求證：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形．
（2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等．
（3）在旋轉過程中，當EF⊥BD時，求出此時繞點O順時針旋轉的度數．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的判定得出AB∥EF，AD∥BC，即可得出四邊形ABEF一定為平行四邊形，
（2）首先由四邊形ABCD為平行四邊形，利用ASA證得△AOF≌△COE，
（3）當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，則可得此時AC繞點O順時針旋轉的度數為45°

解答 解：（1）∵?ABCD中，AB⊥AC，
∵旋轉角∠AOF=90°，
∴AB∥EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∵AD∥BC，
∴四邊形ABEF一定為平行四邊形．
（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠COE．
∴△AOF≌△COE．
∴AF=EC．
∴在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等．
（3）AC繞點O順時針旋轉45°，
在RT△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2，
∵AO=OC，
∴AO=AB=1，
∵∠BAO=90°，
∴∠AOB=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=90°-∠AOB=45°，
AC繞點O順時針旋轉45°．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系．