Question

用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，如果使三角尺60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F時(shí)，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
（3）在（1）的圖形中證明四邊形AECF的面積等于菱形ABCD的面積的一半．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；
（2）根據(jù)已知可以得出∠BAE=∠CAF，進(jìn)而求出△ABE≌△ACF即可；
（3）利用四邊形AECF的面積S=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC求出即可．

解答：解：（1）得出結(jié)論是：BE=CF，
證明：∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即：∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
∴

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，

（2）還成立，
證明：∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
即

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，

（3）證明：∵△ABE≌△ACF，
∴S_△ABE=S_△ACF，
∴四邊形AECF的面積S=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC；
而S_△ABC=

1

2

S_菱形ABCD，
∴S=

1

2

S_菱形ABCD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關(guān)鍵．