Question

【題目】正方形OABC的邊長為4，對角線相交于點(diǎn)P，拋物線L經(jīng)過O、P、A三點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)．

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，
①直接寫出O、P、A三點(diǎn)坐標(biāo)；
②求拋物線L的解析式；
（2）求△OAE與△OCE面積之和的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．

①∵正方形OABC的邊長為4，對角線相交于點(diǎn)P，

∴點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．

②設(shè)拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線L經(jīng)過O、P、A三點(diǎn)，

∴有 ，

解得： ，

∴拋物線L的解析式為y=﹣ +2x

（2）

解：∵點(diǎn)E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，﹣ +2m）（0＜m＜4），

∴S△OAE+SOCE= OAyE+ OCxE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，

∴當(dāng)m=3時，△OAE與△OCE面積之和最大，最大值為9

【解析】（1）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．①根據(jù)正方形的邊長結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)O、P、A三點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c，結(jié)合點(diǎn)O、P、A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）由點(diǎn)E為正方形內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式找出S△OAE+SOCE關(guān)于m的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）建立直角坐標(biāo)系．①根據(jù)正方形的性質(zhì)找出點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，建立直角坐標(biāo)系，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)和三角形的面積，需要了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．