如圖,⊙O的半徑為1,直線CD經(jīng)過圓心O,交⊙O于C、D兩點,直徑AB⊥CD,點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點,AM所在的直線交于⊙O于點N,點P是直線CD上另一點,且PM=PN.
(1)當點M在⊙O內(nèi)部,如圖一,試判斷PN與⊙O的關(guān)系,并寫出證明過程;
(2)當點M在⊙O外部,如圖二,其它條件不變時,(1)的結(jié)論是否還成立?請說明理由;
(3)當點M在⊙O外部,如圖三,∠AMO=15°,求圖中陰影部分的面積.

【答案】分析:(1)根據(jù)切線的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA進而求出即可;
(2)根據(jù)已知得出∠PNM+∠ONA=90°,進而得出∠PNO=180°-90°=90°即可得出答案;
(3)首先根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠AON=30°進而利用扇形面積公式得出即可.
解答:(1)PN與⊙O相切.
證明:連接ON,
則∠ONA=∠OAN,
∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.
∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO.
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°.
即PN與⊙O相切.

(2)成立.
證明:連接ON,
則∠ONA=∠OAN,
∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.
在Rt△AOM中,
∴∠OMA+∠OAM=90°,
∴∠PNM+∠ONA=90°.
∴∠PNO=180°-90°=90°.
即PN與⊙O相切.

(3)解:連接ON,由(2)可知∠ONP=90°.
∵∠AMO=15°,PM=PN,∴∠PNM=15°,∠OPN=30°,
∴∠PON=60°,∠AON=30°.
作NE⊥OD,垂足為點E,
則NE=ON•sin60°=1×=
S陰影=S△AOC+S扇形AON-S△CON
=OC•OA+CO•NE
=×1×1+π-×1×
=+π-
點評:此題主要考查了扇形面積公式以及切線的判定等知識,熟練根據(jù)切線的判定得出對應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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3
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個,設(shè)L為經(jīng)過⊙O上任意兩個格點的直線,則直線L同時經(jīng)過第一、二、四象限的概率是
 

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6
2
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2

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