Question

已知下面一列等式：
1×

1

2

=1-

1

2

；

1

2

×

1

3

=

1

2

-

1

3

；

1

3

×

1

4

=

1

3

-

1

4

；

1

4

×

1

5

=

1

4

-

1

5

；…
（1）請你從左邊這些等式的結構特征寫出它的一般性等式；
（2）驗證一下你寫出的等式是否成立；
（3）利用等式計算：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

．

Answer 1

分析：（1）觀察已知的四個等式，發(fā)現(xiàn)等式的左邊是兩個分數(shù)之積，這兩個分數(shù)的分子都是1，后面一個分數(shù)的分母比前面一個分數(shù)的分母大1，并且第一個分數(shù)的分母與等式的序號相等，等式的右邊是這兩個分數(shù)之差，據(jù)此可寫出一般性等式；
（2）根據(jù)分數(shù)的運算法則即可驗證；
（3）根據(jù)（1）中的結論求解．

解答：解：（1）

1

n

•

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）∵

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

•

1

n+1

，
∴

1

n

•

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

；

（3）原式=（

1

x

-

1

x+1

）+（

1

x+1

-

1

x+2

）+（

1

x+2

-

1

x+3

）+（

1

x+3

-

1

x+4

）
=

1

x

-

1

x+4

=

4

x2+4x

．

點評：本題是尋找規(guī)律的題型，考查了學生分析問題、歸納問題及解決問題的能力．總結規(guī)律要從整體、部分兩個方面入手，防止片面總結出錯誤結論．