Question

【題目】如圖，已知拋物線軸交于點(diǎn)A（-4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF∥AC交BC于F，連接CE，當(dāng)△CEF的面積是△BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1） ；（2）E的坐標(biāo)是； （3）P點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，-3）.

【解析】試題分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；

（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得BE、AB的比例關(guān)系，由此可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）PQ的長(zhǎng)實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，用m表示出P、Q的縱坐標(biāo)，然后可得出PQ的長(zhǎng)與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ最大時(shí)，m的值，也就能求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）由題意得： ，解得： ，∴；

（2）由（1）知：C（0，﹣2），則AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5．

而AB2=25=AC2+BC2，∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵EF∥AC，∴EF⊥BC．∵S△CEF=2S△BEF，∴CF=2BF，BC=3BF．∵EF∥AC，∴ ．

∵AB=5，∴BE=，OE=BE﹣OB=，故E（，0）；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m， ）．已知A（﹣4，0），C（0，﹣2），設(shè)直線AC的解析式為：y=kx﹣2，則有：﹣4k﹣2=0，∴k=﹣，∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣2，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣ m﹣2），則PQ=（﹣m﹣2）﹣（）=﹣m2﹣2m=，∴當(dāng)m=﹣2，即P（﹣2，﹣3）時(shí)，PQ最大，且最大值為2．

故當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到OA垂直平分線上時(shí)，PQ的值最大，此時(shí)P（﹣2，﹣3）．