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6.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點(diǎn),與x軸相交于點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=-1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 (1)由對(duì)稱軸公式及A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求解即可;
(2)由于B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,故連接BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn);
(3)設(shè)出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),分別表示出BP,PC,BC三條線段的長(zhǎng)度的平方,分三種情況,用勾股定理列出方程求解即可.

解答 解:(1){2a=1a+b+c=0c=3,解得:{a=1b=2c=3,
∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
∴B(-3,0),
把B(-3,0)、C(0,3)分別代入直線y=mx+n,
{3m+n=0n=3,解得:{m=1n=3,
∴直線BC解析式為y=x+3;
(2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,
則此時(shí)MA+MC的值最�。�
把x=-1代入直線y=x+3,得y=2,
∴M(-1,2),
即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為(-1,2);

(3)設(shè)P(-1,t),又B(-3,0),C(0,3),
BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(t-3)2+12=t2-6t+10,
若B為直角頂點(diǎn),則:BC2+PB2=PC2,
即:18+4+t2=t2-6t+10,解得:t=-2;
若C為直角頂點(diǎn),則:PB2+PC2=PB2,
即:18+t2-6t+10=4+t2,解得:t=4;
若P為直角頂點(diǎn),則PB2+PC2=BC2,
即:4+t2+t2-6t+10=18,解得:t=3±172
綜上所述,滿足要求的P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),(-1,4),(-1,3+172),(-1,3172

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,軸對(duì)稱與最短路徑問題,勾股定理,一元一次方程,一元二次方程等知識(shí)點(diǎn),難度不大.對(duì)于第三問,根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同進(jìn)行分類討論是解答的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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