【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為半徑的半圓上,AB=8,∠CBA=30°,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E與點(diǎn)D
關(guān)AC對(duì)稱,DF⊥DE于點(diǎn)D,并交EC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F.下列結(jié)論:①CE=CF;②線段EF的最小值為2
③當(dāng)AD=2時(shí),EF與半圓相切;④當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),線段EF掃過的面積是16.其中正
確的結(jié)論()
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
(1)由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE=CD,再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE=CF.
(2)根據(jù)“點(diǎn)到直線之間,垂線段最短”可得CD⊥AB時(shí)CD最小,由于EF=2CD,求出CD的最小值就可求出EF的最小值.
(3)連接OC,易證△AOC是等邊三角形,AD=OD,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD,進(jìn)而可求出∠ECO=90°,從而得到EF與半圓相切.
(4)利用相似三角形的判定與性質(zhì)可證到△DBF是等邊三角形,只需求出BF就可求出DB,進(jìn)而求出AD長(zhǎng).
(5)首先根據(jù)對(duì)稱性確定線段EF掃過的圖形,然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系,就可求出線段EF掃過的面積.
接CD,如圖1所示.
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,
∴CE=CD.
∴∠E=∠CDE.
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°.
∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.
∴∠F=∠CDF.
∴CD=CF.
∴CE=CD=CF.
∴結(jié)論“CE=CF”正確.
②當(dāng)CD⊥AB時(shí),如圖2所示.
∵AB是半圓的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵AB=8,∠CBA=30°,
∴∠CAB=60°,AC=4,BC=4.
∵CD⊥AB,∠CBA=30°,
∴CD=BC=2.
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間,垂線段最短”可得:
點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),CD的最小值為2.
∵CE=CD=CF,
∴EF=2CD.
∴線段EF的最小值為4.
∴結(jié)論“線段EF的最小值為2”錯(cuò)誤.
③當(dāng)AD=2時(shí),連接OC,如圖3所示.
∵OA=OC,∠CAB=60°,
∴△OAC是等邊三角形.
∴CA=CO,∠ACO=60°.
∵AO=4,AD=2,
∴DO=2.
∴AD=DO.
∴∠ACD=∠OCD=30°.
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,
∴∠ECA=∠DCA.
∴∠ECA=30°.
∴∠ECO=90°.
∴OC⊥EF.
∵EF經(jīng)過半徑OC的外端,且OC⊥EF,
∴EF與半圓相切.
∴結(jié)論“EF與半圓相切”正確.
④當(dāng)點(diǎn)F恰好落在
上時(shí),連接FB、AF,如圖4所示
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,
∴ED⊥AC.
∴∠AGD=90°.
∴∠AGD=∠ACB.
∴ED∥BC.
∴△FHC∽△FDE.
∴ .
∵FC=EF,
∴FH=FD.
∴FH=DH.
∵DE∥BC,
∴∠FHC=∠FDE=90°.
∴BF=BD.
∴∠FBH=∠DBH=30°.
∴∠FBD=60°.
∵AB是半圓的直徑,
∴∠AFB=90°.
∴∠FAB=30°.
∴FB=AB=4.
∴DB=4.
∴AD=AB-DB=4.
∴結(jié)論“AD=2 ”錯(cuò)誤.
⑤如圖所示:
∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱,
點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱,
∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),
點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AB關(guān)于AC對(duì)稱,
點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NB與AB關(guān)于BC對(duì)稱.
∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分.
∴S陰影=2S△ABC
=2×ACBC
=ACBC
=4×4
=16.
∴EF掃過的面積為16.
∴結(jié)論“EF掃過的面積為16”正確.
所以①、③、⑤正確,共計(jì)3個(gè).
故選:C.
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(1)圖2中的陰影部分的面積為 ;
(2)觀察圖2,三個(gè)代數(shù)式,,之間的等量關(guān)系是 ;
(3)若,,求;
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(1)B班參賽作品有多少件?
(2)請(qǐng)你將圖②的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)通過計(jì)算說明,哪個(gè)班的獲獎(jiǎng)率高?
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A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)
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