Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，矩形 的邊 在 軸上，頂點(diǎn) 在拋物線 上，且拋物線交 軸于另一點(diǎn) ．

（1）則 = ， =；
（2）已知 為 邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 、 重合），連結(jié) 交 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 軸的平行線分別交拋物線、直線 于 、 ．
①求線段 的最大值，此時(shí) 的面積為；
②若以點(diǎn) 為圓心， 為半徑作⊙O，試判斷直線 與⊙O的能否相切，若能請(qǐng)求出 點(diǎn)坐標(biāo)，若不能請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）,
（2）解：①由點(diǎn)O（0，0）、B（4，2）兩點(diǎn)可得直線OB的解析式為 ，

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，2），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m， ），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m， ），∴FG=（ ）- = ，

∴當(dāng)m=2時(shí)，線段FG的最大值為1．

此時(shí)過E（2，2）、A（4，0）兩點(diǎn)直線AE的解析式為y=-x+4，

∴直線OB與直線AE的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ），

∴ 邊FG邊上的高為 ，

∴ 的面積為 ；②直線AE能與⊙O相切，當(dāng)直線AE與⊙O相切時(shí)，則OB⊥AE，∴△ABE∽△OAB，

∴ ，即 ，

∴BE=1，CE=3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，2）．

【解析】（1）把點(diǎn)B與點(diǎn)D坐標(biāo)代入拋物線解析式，建立方程，求出a與b的值即可。
（2）①先求出直線OB的解析式，設(shè)出E坐標(biāo)為（m，2），根據(jù)EG與y軸平行，表示出F與G坐標(biāo)，進(jìn)而表示出FG，，列出FG關(guān)于x的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出FG最大值，以及此時(shí)m的值，確定出E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AE解析式，與直線OB聯(lián)立求出交點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而確定出此時(shí)三角形PFG面積即可；②當(dāng)AE⊥OB，垂足為P時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作 O，直線AE與 O相切，如圖所示，根據(jù)直線OB解析式確定出直線AE解析式，進(jìn)而求出垂足P坐標(biāo),再證明△ABE∽△OAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE、BE的長，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的最值和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．