Question

如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為. 在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE、DG.

（1）當正方形AEFG旋轉至如圖2所示的位置時，求證：BE=DG；

（2）當點C在直線BE上時，連接FC，直接寫出∠FCD 的度數(shù)；

（3）如圖3，如果=45°，AB =2，AE=，求點G到BE的距離.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）45°或135°；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可.

（2）當點C在直線BE上時，可知點E與C重合或G點C與重合，據(jù)此求解即可.

（3）根據(jù)和求解即可.

試題解析：（1）如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.

∵四邊形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.

∴∠BAE=∠DAG..

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴BE=DG..

（2）如圖，當點C在直線BE上時，可知點E與C重合或G點C與重合，此時∠FCD 的度數(shù)為45°或135°.

（3）如圖3，連接GB、GE.

由已知α=45°，可知∠BAE=45°.

又∵GE為正方形AEFG的對角線， ∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.

∵，∴GE =8.

∴.

過點B作BH⊥AE于點H.

∵AB=2，∴. ∴. .

設點G到BE的距離為h.

∴.

∴.

∴點G到BE的距離為.

考點：1.旋轉的性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.平行的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.分類思想的應用．