【題目】問題發(fā)現(xiàn):
(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=kAC(k>1),D是AB上一點(diǎn),DE∥BC,則BD,EC的數(shù)量關(guān)系為 .
類比探究
(2)如圖2,將△AED繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),連接CE,BD,請(qǐng)問(1)中BD,EC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?說明理由
拓展延伸:
(3)如圖3,在(2)的條件下,將△AED繞點(diǎn)A繼續(xù)旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為a(a>90°).直線BD,CE交于F點(diǎn),若AC=1,AB=,則當(dāng)∠ACE=15°時(shí),BFCF的值為_____.
【答案】(1)BD=kEC;(2)成立,理由見解析;(3)1或2.
【解析】
問題發(fā)現(xiàn):(1)由平行線分線段成比例可得,即可得BD=kEC;
類比探究:(2)通過證明△ABD∽△ACE,可得=k,即可得BD=kEC;
拓展延伸:(3)分兩種情況討論,由相似三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD,即可證∠BFC=90°,由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求BFCF的值.
問題發(fā)現(xiàn):
(1)∵DE∥BC,
∴,
∵AB=kAC,
∴BD=kEC,
故答案為:BD=kEC;
類比探究:
(2)成立,
理由如下:連接BD
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠BAD=∠CAE
∵,
∴△ABD∽△ACE,
∴=k,
故BD=kEC;
拓展延伸:
(3)BFCF的值為2或1;
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAD=∠CAE
∵,
∴△ABD∽△ACE
∴∠ACE=15°=∠ABD
∵∠ABC+∠ACB=90°
∴∠FBC+∠FCB=90°
∴∠BFC=90°
∵∠BAC=90°,AC=1,AB=,
∴tan∠ABC=,
∴∠ABC=30°
∴∠ACB=60°
分兩種情況
①如圖2,
∴在Rt△BAC中,∠ABC=30°,AC=1,
∴BC=2AC=2,
∵在Rt△BFC中,∠CBF=30°+15°=45°,BC=2
∴BF=CF=
∴BFCF=()2=2
②如圖3,
設(shè)CF=a,在BF上取點(diǎn)G
∵∠BCF=60°+15°=75°,∠CBF=∠ABC﹣∠ABD=30°﹣15°=15°,
∴∠CFB=90°
∴∠GCF=60°
∴CG=BG=2a,GF=a.
∵CF2+BF2=BC2
∴a2+(2a+a) 2=22,
解得a2=2﹣,
∴BFCF=(2+)aa=(2+)a2=1,
即:BFCF=1或2.
故答案為:1或2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A,B,與y軸相交于點(diǎn)C,連接AC,BC.該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上是否存在一點(diǎn)D,使得CB平分∠ACD?若存在,求點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)一定要講究方法,比如有效的預(yù)習(xí)可大幅提高聽課效率.九年級(jí)(1)班學(xué)習(xí)興趣小組為了了解全校九年級(jí)學(xué)生的預(yù)習(xí)情況,對(duì)該校九年級(jí)學(xué)生每天的課前預(yù)習(xí)時(shí)間(單位:)進(jìn)行了抽樣調(diào)查.并將抽查得到的數(shù)據(jù)分成5組,下面是未完成的頻數(shù)、頓率分布表和頻數(shù)分布扇形圖.
組別 | 課前預(yù)習(xí)時(shí)間 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
1 | 2 | ||
2 | 0.10 | ||
3 | 16 | 0.32 | |
4 | |||
5 | 3 |
請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查的樣本容量為 ,表中的 , , ;
(2)試計(jì)算第4組人數(shù)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(3)該校九年級(jí)其有1000名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)這些學(xué)生中每天課前預(yù)習(xí)時(shí)間不少于的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是小明同學(xué)的一款琴譜架,他由譜板、立桿和三角支架組成(立桿垂直于地面,三角支架的三條腿長相等),譜板的長為47.5cm,寬為30cm,在譜板長的中間,寬的下端處可調(diào)節(jié)譜板的傾斜度.如圖是這款琴譜架的一種截面圖.已知立桿AB=80cm,三角支架CD=30cm,CD與地面夾角∠CDE為35°,BC的長度為9cm.根據(jù)小明的身高,當(dāng)譜板與水平面的夾角∠FAH調(diào)整為65°時(shí),視譜效果最好,求此時(shí)譜板的上邊沿到地面的距離FM的長.(結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.15)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了減少霧霾的侵狀,某市環(huán)保局與市委各部門協(xié)商,要求市民在春節(jié)期間禁止燃放煙花爆竹,為了征集市民對(duì)禁燃的意見,政府辦公室進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查意見表設(shè)計(jì)為:“滿意““一般””無所謂””反對(duì)”四個(gè)選項(xiàng),調(diào)查結(jié)果匯總制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)提供的信息解答下面的問題.
(1)參與問卷調(diào)查的人數(shù)為 .
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中的m= ,n= .補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若本市春節(jié)期間留守市區(qū)的市民有32000人,請(qǐng)你估計(jì)他們中持“反對(duì)”意見的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,蘭蘭站在河岸上的G點(diǎn),看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過來,此時(shí),測得小船C的俯角是∠FDC=30°,若蘭蘭的眼睛與地面的距離是1.5米,BG=1米,BG平行于AC所在的直線,迎水坡的坡度i=4:3,坡長AB=10米,求小船C到岸邊的距離CA的長?(參考數(shù)據(jù):=1.73,結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,點(diǎn)分別在兩邊上,將沿直線折疊,使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上,當(dāng)是直角三角形時(shí),則的值為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,O,F(xiàn)分別為AB,AC,AD的中點(diǎn),連接CE,CF,OE,OF.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形AEOF是正方形?請(qǐng)說明理由.
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