Question

【題目】在Rt△ABO中，∠AOB=90°，OA=，OB=4，分別以OA、OB邊所在的直線(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，D為x軸正半軸上一點(diǎn)，以OD為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ODE．

（1）如圖①，當(dāng)E點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段AB上時(shí)，求E點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在（Ⅰ）問(wèn)的條件下，將△ODE沿x軸的正半軸向右平移得到△O′D′E′，O′E′、D′E′分別交AB于點(diǎn)G、F（如圖②）求證OO′=E′F；

（3）若點(diǎn)D沿x軸正半軸向右移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）E（1，）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】（1）由題意作輔助線(xiàn)，作EH⊥OB于點(diǎn)H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）假設(shè)存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，從而得到OO′=EF；

（3）根據(jù)題意分三種情況寫(xiě)出解析式即可．

（1）作EH⊥OB于點(diǎn)H，

tan∠ABO===，

∴∠ABO=30°，

∵△OED是等邊三角形，

∴∠EOD=60°．

又∵∠ABO=30°，

∴∠OEB=90°．

∵BO=4，

∴OE=OB=2．

∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°

∴OH=1，EH=．

∴E（1，）；

（2）∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，

∴∠ABO=∠DFB=30°，

∴D′F=D′B．

∴OO′=4﹣2﹣D′B=2﹣D′B=2﹣D′F=E′D′﹣FD′=E′F；

（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，△ODE與△AOB重疊部分的面積為△ODE面積=x2，

當(dāng)2＜x＜4時(shí)，△ODE與△AOB重疊部分的面積為四邊形GO′DF面積=﹣x2+2x﹣2，

當(dāng)x≥4時(shí)，△ODE與△AOB重疊部分的面積為2．