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【題目】如圖，己知△ABC是等邊三角形，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，分別連接AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ, BP=CQ.

(1)求證：△ABP≌△ACQ；

(2)連接PQ,求證△APQ是等邊三角形；

(3)連接P設△CPQ是以PQC為頂角的等腰三角形，且∠BPC=100，求∠APB的度數.

【答案】(1)答案見解析；（2）答案見解析；（3）160°

【解析】試題分析:易證AB=AC，∠BAC=60°，即可證明△ABP≌△ACQ，可得∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，即可求得∠PAQ=60°，即可解題．

（1）證明： ∵ △ABC是等邊三角形，

∴ AB=AC .

在△ABP和△ACQ中

，

∴ △ABP ≌ △ACQ ( SAS ).

（2）證明： ∵ △ABP ≌ △ACQ，

∴ , ，

∴ ，

∴ .

∵ △ABC是等邊三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ △APQ是等邊三角形.

（3）解： 如圖示

∵ △CPQ是等腰三角形，∠PQC為頂角，

∴ .

設，

= .

∵ △APQ是等邊三角形，

∴ ，

∴ .

∵ △ABP ≌ △ACQ，

∴ ，

∴ .

∵ ，

又∵

∴ ，

解得 ，

∴ .

點睛: 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了正三角形的判定，本題中求證△ABP≌△ACQ是解題的關鍵．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】有許多代數恒等式可以用圖形的面積來表示，如圖①，它表示(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2．

(1) 觀察圖②,請你寫出三個代數式(m+n) 2、(m－n) 2、mn之間的等量關系是_________;

(2) 小明用8個一樣大的長方形(長acm，寬bcm)拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案：圖案甲是一個正方形，圖案乙是一個大的長方形：圖案甲的中間留下了邊長是2cm的正方形小洞．則(a+2b)2－8ab的值_______．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，AB=AC，點D是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）如圖1，當點D在線段CB上，且∠BAC=90°時，那么∠DCE= 度；

（2）設∠BAC= ，∠DCE= ．

① 如圖2，當點D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究與之間的數量關系，并證明你的結論；

② 如圖3，當點D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時與之間的數量關系（不需證明）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，一條直線上有兩只螞蟻，甲螞蟻在點A處，乙螞蟻在點B處，假設兩只螞蟻同時出發(fā)，爬行方向只能沿直線AB在“向左”或“向右”中隨機選擇，并且甲螞蟻爬行的速度比乙螞蟻快．(1)甲螞蟻選擇“向左”爬行的概率為________；

(2)利用列表或畫樹狀圖的方法求兩只螞蟻開始爬行后會“觸碰到”的概率．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】（本題滿分10分）如圖，已知直線和雙曲線 （k＞0），點A（m，n）在雙曲線 上．當m=n=2時．

（1）直接寫出k的值；

（2）將直線作怎樣的平移能使平移后的直線與雙曲線 只有一個交點．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，△DEF是由△ABC繞點O順時針旋轉180°后形成的圖形；

(1)請你指出圖中所有相等的線段；

(2)圖中哪些三角形可以被看成是關于點O成中心對稱關系？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】拋物線與軸交于點A，點B（1，0），與軸交于點C（0，﹣3），點M是其頂點．

（1）求拋物線解析式；

（2）第一象限拋物線上有一點D,滿足∠DAB=45°,求點D的坐標；

（3）直線 (﹣3＜＜﹣1)與x軸相交于點H．與線段AC，AM和拋物線分別相交于點E，F，P．證明線段HE，EF，FP總能組成等腰三角形.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】問題探究

（）如圖①，已知正方形的邊長為，點和分別是邊、上兩點，且．連接和，交于點．猜想與的位置關系，并證明你的結論．

（）如圖②，已知正方形的邊長為，點和分別從點、同時出發(fā)，以相同的速度沿、方向向終點和運動，連接和，交于點，求周長的最大值．

問題解決

（）如圖③，為邊長為的菱形的對角線， ．點和分別從點、同時出發(fā)；以相同的速度沿、向終點和運動，連接和，交于點，求周長的最大值．

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