如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),頂點(diǎn)為(1,
92
).

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如圖①,設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,試在對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P,使△CDP為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖②,連結(jié)AC、BC,若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合),過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交線段BC于點(diǎn)F,連結(jié)CE,記△CEF的面積為S,求出S的最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:(1)將拋物線的頂點(diǎn)代入到拋物線的頂點(diǎn)式中得到y(tǒng)=a ( x-1)2+
9
2
,然后將與y軸交于點(diǎn)C代入到上式中即可求得函數(shù)的解析式;
(2)利用等腰三角形的性質(zhì)分別得出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),然后過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M,利用△BEF∽△BAC即可得到函數(shù)關(guān)系式S=-
1
3
x2+
2
3
x+
8
3
,配方后即可求得最大值,從而求得E點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)因?yàn)閽佄锞的頂點(diǎn)為(1,
9
2
),
所以設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a ( x-1)2+
9
2
,
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,4),
∴a(0-1)2+
9
2
=4.   
解得:a=-
1
2

∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-
1
2
(x-1)2+
9
2


(2)如圖①,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)E,
當(dāng)CD=CP1時(shí),∵點(diǎn)C(0,4),頂點(diǎn)為(1,
9
2
),
∴CD=
42+12
=
17
,DE=4,
∴CP1=
17
,EP1=4,
∴P1的坐標(biāo)為:(1,8),
當(dāng)CD=DP2時(shí),P2的坐標(biāo)為:(1,
17
),
當(dāng)CP3=DP3時(shí),
設(shè)CP3=DP3=y,
∴CE2+EP
 
2
3
=CP
 
2
3
,
∴1+(4-y)2=y2,
解得:y=
17
8
,
∴P3的坐標(biāo)為:(1,
17
8
),
當(dāng)CD=CP4時(shí),
P4的坐標(biāo)為:(1,-
17
),
綜上所述:符合條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)是:
(1,
17
),(1,-
17
),(1,8),(1,
17
8
);

(3)令-
1
2
(x-1)2+
9
2
=0,
解得:x1=-2,x2=4,.
∴拋物線y=-
1
2
(x-1)2+
9
2
與x軸的交點(diǎn)為A(-2,0),B(4,0).
過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M.
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BAC.
MF
CO
=
EB
AB

又∵OC=4,AB=6,
∴MF=
BE
AB
×CO=
2
3
EB.
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)(x,0),則EB=4-x.MF=
2
3
(4-x),
∴S=S△BCE-S△BEF=
1
2
EB•CO-
1
2
EB•MF,
=
1
2
EB(OC-MF)=
1
2
(4-x)[4-
2
3
(4-x)]
=-
1
3
x2+
2
3
x+
8
3
=-
1
3
(x-1)2+3.
Qa=-
1
3
<0,
∴S有最大值.
當(dāng)x=1時(shí),S最大值=3.   
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法.在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫(huà)圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過(guò)程,只需寫(xiě)出結(jié)果).

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