Question

已知二次函數(shù)y=x²+qx+p的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，且△ABC的面積S≤1．
（1）求q²-4p的取值范圍；
（2）若p，q分別為一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位數(shù)字，求出所有這樣的兩位數(shù)

.

pq

．

Answer 1

分析：（1）△ABC的面積=AB×點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的絕對值÷2，代入即可求得所求的范圍；
（2）根據(jù)（1）的范圍找到相應(yīng)的整數(shù)值即可．

解答：（1）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁≠x₂），則x₁，x₂是方程x²+qx+p=0的兩個(gè)不同的實(shí)根．
有x₁+x₂=-q，x₁x₂=p，q²-4p＞0，
∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y_C=

4p-q2

4

∴S=

1

2

|x₁-x₂|•|y_C|=

1

2

q2-4p

•|

4p-q2

4

|≤1，
即（q²-4p）³≤64，
q²-4p≤4，
∴0＜q²-4p≤4；

（2）由（1）知，q²-4p=1，2，3，4．
∵q²被4除余數(shù)為0或1，
∴q²-4p被4除余數(shù)也為0或1．
從而q²-4p=1，4．這兩個(gè)方程中符合題意的整數(shù)解有

p=2 q=3

，

p=6 q=5

，

p=3 q=4

，

p=8 q=6

．故所求兩位數(shù)

.

pq

為23，65，34，86．

點(diǎn)評：主要考查了二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和一元二次方程兩根之間的關(guān)系，用公式法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系求面積等知識(shí)．