Question

【題目】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=8，如圖在OC邊上取一點D，將△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在OA邊上，記作E點；

（1）求點E的坐標及折痕DB的長；

（2）在x軸上取兩點M、N（點M在點N的左側），且MN=4.5，求使四邊形BDMN的周長最短的點M、點N的坐標。

Answer 1

【答案】（1）E（4，0）；DB=5；（2）M（1.5，0）；N（6，0）；

【解析】

(1)、根據矩形的性質得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根據折疊的性質得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，則OE=10-6=4，即可得到E點坐標；在Rt△ODE中，設DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，利用勾股定理可計算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理計算出BD；(2)、以D、M、N為頂點作平行四邊形DMND′，作出點B關于x軸對稱點B′，則易得到B′的坐標，D′的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線D′B′的解析式，令y=0，得-2x+12=0，確定N點坐標，也即可得到M點坐標．

(1)、∵四邊形OABC為矩形， ∴BC=OA=10，AB=OC=8，

∵△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在OA邊E點上， ∴BC=BE=10，DC=DE，

在Rt△ABE中，BE=10，AB=8， ∴AE=6， ∴OE=10-6=4， ∴E點坐標為（4，0）；

在Rt△ODE中，設DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x， ∴x2=42+（8-x）2，解得x=5，

在Rt△BDE中， BD=；

(2)、以D、M、N為頂點作平行四邊形DMND′，作出點B關于x軸對稱點B′，如圖，

∴B′的坐標為（10，-8），DD′=MN=4.5，∴D′的坐標為（4.5，3），

設直線D′B′的解析式為y=kx+b，

把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得，10k+b=-8，4.5k+b=3，解得k=-2，b=12，

∴直線D′B′的解析式為y=-2x+12， 令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，

∴M（1.5，0）；N（6，0）．