Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣1，0），且經過直線y=x﹣3與坐標軸的兩個交點B、C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若點M在第四象限內且在拋物線上，有OM⊥BC，垂足為D，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M點坐標為（，﹣）．

【解析】【試題分析】

（1）先求出y=x﹣3與x軸的交點B的坐標為（3，0），與y軸的交點C的坐標為（0，﹣3），A點坐標為（﹣1，0），用交點式設二次函數解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，﹣3）代入解析式得，﹣3=a×1×（﹣3），解得，a=1，則y=（x+1）（x﹣3），化為一般式得：y=x2﹣2x﹣3，

（2）由于OD過原點，則OD為正比例函數的圖像，設OD的解析式為y=kx，

因為OM⊥BC，BC解析式為y=x-3，根據兩條垂直的一次函數的k值互為相反數，得：

kOD=﹣1，則OD的解析式為y=﹣x，將y=x2﹣2x﹣3和y=﹣x組成方程組得，

解得，x1=，x2=（不合題意，舍去），

把x1=代入y=﹣x得，y1=﹣，

即M點坐標為（，﹣）．

【試題解析】

（1）∵y=x﹣3與x軸的交點B的坐標為（3，0），與y軸的交點C的坐標為（0，﹣3），A點坐標為（﹣1，0），

∴設二次函數解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

將C（0，﹣3）代入解析式得，

﹣3=a×1×（﹣3），

解得，a=1，

則二次函數解析式為y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣2x﹣3，

（2）∵OD過原點，

∴設OD的解析式為y=kx，

∵OM⊥BC，BC解析式為y=x﹣3，

∴kOD=﹣1，

則OD的解析式為y=﹣x，

將y=x2﹣2x﹣3和y=﹣x組成方程組得，

整理得，x2﹣x﹣3=0，

解得，x1=，x2=（不合題意，舍去），

把x1=代入y=﹣x得，

y1=﹣，

∴M點坐標為（，﹣）．