Question

已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，BE=DF．
（1）求證：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件證明△ABE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到AE=AF；
（2）連接AC，根據(jù)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形即可得證．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF；
（2）連接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD．
∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABC和△ACD都是等邊三角形．
∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°
又∵AE=AF，
∴△AEF是等邊三角形．
點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等邊三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強，難度中等．