Question

如圖，已知直線l：y=

3

2

x及拋物線C：y=ax²+bx+c（a≠0），且拋物線C圖象上部分點的對應(yīng)值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	-5	0	3	4	3	0	-5	…

（1）求拋物線C對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）求直線l與拋物線C的交點A、B的坐標(biāo)；
（3）若動點M在直線l上方的拋物線C上移動，求△ABM的邊AB上的高h的最大值．

Answer 1

分析：（1）可任選三點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進行求解即可．（可選其中與x軸的交點，用交點式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式求解．）
（2）聯(lián)立直線l和拋物線的解析式即可求出A、B的坐標(biāo)．
（3）本題可通過三角形ABM的面積來求解．由于三角形AMB的面積無法直接求出，因此可將其分割成其他圖形面積的和差來求解．過M作MN∥y軸交AB于N，那么三角形ABM的面積就分成了三角形AMN和BMN兩部分，可以MN為底，以AB兩點的橫坐標(biāo)的差的絕對值為高來求三角形ABM的面積，MN是拋物線的函數(shù)中與直線AB函數(shù)值的差，由此可得出關(guān)于三角形AMB的面積與M點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)三角形ABM的面積的不同表示方法求出關(guān)于h和M點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出h的最大值．

解答：解：（1）∵拋物線C：y=ax²+bx+c（a≠0）過（-1，0），（0，3），（3，0）；
∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），
則有：3=a（0+1）（0-3），a=-1；
∴拋物線C對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）由

y= 3 2 x y=-x2+2x+3

，
得：

x=- 3 2 y=- 9 4

，

x=2 y=3

；
∴A（-

3

2

，-

9

4

）和B（2，3）．

（3）設(shè)點M（x，-x²+2x+3），其中-

3

2

＜x＜3，過點M作y軸的平行線交直線AB于點N，則N（x，

3

2

x）．
且|MN|=-x²+2x+3-

3

2

x=-x²+

1

2

x+3
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN=

1

2

|MN|（x+

3

2

）+

1

2

|MN|（2-x）
=

1

2

|MN|（

3

2

+x+2-x）
=-

7

4

x²+

7

8

x+

21

4

由勾股定理得：
|AB|=

(2+ 3 2 )2+(3+ 9 4 )2

=

( 7 2 )2+( 21 4 )2

=

7

4

13

．
又∵S_△ABM=

1

2

|AB|•h，
∴

1

2

×

7 13

4

•h=-

7

4

x²+

7

8

x+

21

4

∴h=

2 13

13

（-x²+

1

2

x+3），
故h=-

2 13

13

（x-

1

4

）²+

49 13

104

∴當(dāng)x=

1

4

（-

3

2

＜

1

4

＜3）時，h的最大值為

49 13

104

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點、圖形面積的求法等知識點．綜合性強，難度較高．