Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過點B(6，0)的直線AB與y軸相交于點C(0，6)，與直線OA相交于點A且點A的縱坐標為2， 動點P沿路線運動.

（1）求直線BC的解析式；

（2）在y軸上找一點M，使得△MAB的周長最小，則點M的坐標為______；（請直接寫出結(jié)果）

（3）當(dāng)△OPC的面積是△OAC的面積的時，求出這時P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）BC解析式為；（2）M（0，）；（3）點P的坐標為(1，)或(1，5).

【解析】

（1）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標代入，求出k、b即可；
（2）先確定出點M的位置，進而求出直線AB'的解析式即可得出結(jié)論；
（3）分為兩種情況：①當(dāng)P在OA上，此時OP：AO=1：4，根據(jù)A點的坐標求出即可；
②當(dāng)P在AC上，此時CP：AC=1：4，求出P即可．

（1）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：
解得
則直線BC的解析式是：y=-x+6；
（2）如圖，作點B（6，0）關(guān)于y軸的對稱點B'，

∴B'（-6，0），
連接AB'交y軸于M，此時MA+MB最小，得到△MAB的周長最小
設(shè)直線AB'的解析式為y=mx+n，
∵A（4，2），
∴，
∴，
∴直線AB'的解析式為y=，
令x=0，
∴y= ，
∴M（0，），

（3）設(shè)OA的解析式是y=ax，則4a=2，
解得：a＝，
則直線的解析式是：y＝x，
①當(dāng)P在OA上時，
∵當(dāng)△OPC的面積是△OAC的面積的時，
∴P的橫坐標是×4＝1，
在y＝x中，當(dāng)x=1時，y＝，則P的坐標是(1，)；
②當(dāng)P在AC上時，
∵△OPC的面積是△OAC的面積的，
∴CP：AP=1：5，
∵A（4，2）
∴在y=-x+6中，當(dāng)x=1時，y=5，則P的坐標是（1，5），
∴P的坐標是：P1(1，)或P2(1，5)．