Question

14、30⁴的所有不同的正約數(shù)共有

125

個(gè)．

Answer 1

分析：由于30⁴=2⁴×3⁴×5⁴×1，那么先分析2⁴里有幾個(gè)不同的約數(shù)，從而可知3⁴、5⁴里的約數(shù)，并易知道2⁴與3⁴組成不同的約數(shù)的個(gè)數(shù)，也就知道3⁴與5⁴、2⁴與5⁴組成的約數(shù)的個(gè)數(shù)，也就容易知道3⁴與5⁴、2⁴可以組成不同的約數(shù)的個(gè)數(shù)，再加上約數(shù)1，就可求出所有答案．

解答：解：∵30⁴=2⁴×3⁴×5⁴×1，
∴2⁴里有約數(shù)2、2²、2³、2⁴，
同理3⁴有約數(shù)4個(gè)，5⁴里有約數(shù)4個(gè)，
∴2⁴與3⁴又可以組成16個(gè)不同的約數(shù)，
同理2⁴與5⁴可以組成16個(gè)不同的約數(shù)，
3⁴與5⁴可以組成16個(gè)不同的約數(shù)，
∴3⁴與5⁴、2⁴可以組成4×4×4個(gè)不同的約數(shù)，
故正約數(shù)的個(gè)數(shù)=3×4+16×3+4×4×4+1=125個(gè)．
故答案是125．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了約數(shù)的概念．