Question

如圖1，△ABC內(nèi)接于半徑為4cm的⊙O，AB為直徑，長(zhǎng)為．

（1）計(jì)算∠ABC的度數(shù)；
（2）將與△ABC全等的△FED如圖2擺放，使兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊DF與AC有一部分重疊，△FED的最長(zhǎng)邊EF恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)M．求證：AF=AB；

（3）設(shè)圖2中以A、C、M為頂點(diǎn)的三角形面積為S，求出S的值．

Answer 1

（1）60°；（2）連結(jié)OM，過(guò)點(diǎn)F作于H，由AB為直徑可得∠ACB=90°，即可求得∠A的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的可得到，由點(diǎn)M為的中點(diǎn)可得OM⊥AB且OM =AB，再根據(jù)△ABC與△FED全等可得∠A=∠EFD=30°，即可證得結(jié)論；（3）

試題分析：（1）連結(jié)OC，先根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得∠BOC的度數(shù)，再結(jié)合圓的基本性質(zhì)求解即可；
（2）連結(jié)OM，過(guò)點(diǎn)F作于H，由AB為直徑可得∠ACB=90°，即可求得∠A的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得到，由點(diǎn)M為的中點(diǎn)可得OM⊥AB且OM =AB，再根據(jù)△ABC與△FED全等可得∠A=∠EFD=30°，即可證得結(jié)論；
（3）連結(jié)AM、CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，先根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得AC的長(zhǎng)，在Rt△AMO中，根據(jù)勾股定理可求得AM的長(zhǎng)，設(shè)MN=x，由∠MCN==45°可得MN=NC=x，在Rt△AMN中，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可.   
（1）連結(jié)OC

∵長(zhǎng)為，⊙O的半徑為4cm
∴，解得n=60，即∠BOC="60"
∵OB=OC  
∴∠ABC=∠OBC=；
（2）連結(jié)OM，過(guò)點(diǎn)F作于H

∵AB為直徑   
∴∠ACB=90°  
∴∠A=180－90－60=30°
∴在Rt△FAH中，
∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)   
∴OM⊥AB且OM=AB
∵△ABC與△FED全等  
∴∠A=∠EFD=30°
∴EF∥AB，OM=FH=AB
∴AF=AB；
（3）連結(jié)AM、CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N

在Rt△ABC中，AB=8，∠A=30° 
∴AC=4
在Rt△AMO中，
設(shè)MN="x" ，
∵∠MCN==45°   
∴MN=NC=x
在Rt△AMN中，   
即
解得，（舍去）
∴ 
∴．
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.