如圖,在菱形ABCD中,AC、BD交于點O,AC=12cm,BD=16cm.動點P在線段AB上,由B向A運動,速度為1cm/s,動點Q在線段OD上,由D向O運動,速度為1cm/s.過點Q作直線EF⊥BD交AD于E,交CD于F,連接PF,設(shè)運動時間為t(0<t<8).問:
(1)何時四邊形APFD為平行四邊形?求出相應(yīng)t的值;
(2)設(shè)四邊形APFE面積為ycm2,求y與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形APFE:S菱形ABCD=17:40?若存在,求出相應(yīng)t的值,并求出,P、E兩點間的距離;若不存在,說明理由.
【考點】四邊形綜合題.
【專題】幾何動點問題.
【分析】(1))由四邊形ABCD是菱形,OA=AC,OB=
BD.在Rt△AOB中,運用勾股定理求出AB=10.再由△DFQ∽△DCO.得出
.求出DF.由AP=DF.求出t.
(2)過點C作CG⊥AB于點G,由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD,求出CG.據(jù)S梯形APFD=
(AP+DF)•CG.S△EFD=
EF•QD.得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)過點C作CG⊥AB于點G,由S菱形ABCD=AB•CG,求出CG,由S四邊形APFE:S菱形ABCD=17:40,求出t,再由△PBN∽△ABO,求得PN,BN,據(jù)線段關(guān)系求出EM,PM再由勾股定理求出PE.
【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,OA=OC=AC=6,OB=OD=
BD=8.
在Rt△AOB中,AB==10.
∵EF⊥BD,
∴∠FQD=∠COD=90°.
又∵∠FDQ=∠CDO,
∴△DFQ∽△DCO.
∴.
即,
∴DF=t.
∵四邊形APFD是平行四邊形,
∴AP=DF.
即10﹣t=t,
解這個方程,得t=.
∴當(dāng)t=s時,四邊形APFD是平行四邊形.
(2)如圖,過點C作CG⊥AB于點G,
∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD,
即10•CG=×12×16,
∴CG=.
∴S梯形APFD=(AP+DF)•CG
=(10﹣t+
t)•
=
t+48.
∵△DFQ∽△DCO,
∴.
即=,
∴QF=t.
同理,EQ=t.
∴EF=QF+EQ=t.
∴S△EFD=EF•QD=
×
t×t=
t2.
∴y=(t+48)﹣
t2=﹣
t2+
t+48.
(3)如圖,過點P作PM⊥EF于點M,PN⊥BD于點N,
若S四邊形APFE:S菱形ABCD=17:40,
則﹣t2+
t+48=
×96,
即5t2﹣8t﹣48=0,
解這個方程,得t1=4,t2=﹣(舍去)
過點P作PM⊥EF于點M,PN⊥BD于點N,
當(dāng)t=4時,
∵△PBN∽△ABO,
∴=
,
即=
.
∴PN=,BN=
.
∴EM=EQ﹣MQ=3﹣=
.
PM=BD﹣BN﹣DQ=16﹣﹣4=
.
在Rt△PME中,
PE==
(cm).
【點評】本題主要考查了四邊形的綜合知識,用到的知識點有勾股定理、菱形的性質(zhì)、梯形的面積公式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程得解、平行四邊形的性質(zhì)等性質(zhì),題目的綜合性較強,對學(xué)生的綜合解題能力要求很高,是一道不錯的中考壓軸題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
我市股市交易中心每買、賣一次需千分之七點五的各種費用,某投資者以每股10元的價格買入上海某股票1000股,當(dāng)該股票漲到12元時全部賣出,該投資者實際盈利為( )
A.2000元 B.1925元 C.1835元 D.1910元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
兩位同學(xué)在解方程組時,甲同學(xué)由正確地解出
,乙同學(xué)因把C寫錯了解得
,那么a、b、c的正確的值應(yīng)為( )
A、a=4,b=5,c=-1 B、a=4,b=5,c=-2
C、a=-4,b=-5,c=0 D、a=-4,b=-5,c=2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在3×3的方格內(nèi),填寫了一些代數(shù)式和數(shù)
(1)在圖中各行、各列及對角線上三個數(shù)之和都相等,請你求出x,y的值。
(2)把滿足(1)的其它6個數(shù)填入圖(2)中的方格內(nèi)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在△ABC中,AB=AC,E是BC中點,點O在AB上,以O(shè)B為半徑的⊙O經(jīng)過點AE上的一點M,分別交AB,BC于點F,G,連BM,此時∠FBM=∠CBM.
(1)求證:AM是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BC=6,OB:OA=1:2 時,求,AM,AF圍成的陰影部分面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知,如圖,雙曲線y=(x>0)與直線EF交于點A,點B,且AE=AB=BF,連結(jié)AO,BO,它們分別與雙曲線y=
(x>0)交于點C,點D,則:
(1)AB與CD的位置關(guān)系是 ;
(2)四邊形ABDC的面積為 .
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