如圖,在菱形ABCD中,AC、BD交于點O,AC=12cm,BD=16cm.動點P在線段AB上,由B向A運動,速度為1cm/s,動點Q在線段OD上,由D向O運動,速度為1cm/s.過點Q作直線EF⊥BD交AD于E,交CD于F,連接PF,設(shè)運動時間為t(0<t<8).問:

(1)何時四邊形APFD為平行四邊形?求出相應(yīng)t的值;

(2)設(shè)四邊形APFE面積為ycm2,求y與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形APFE:S菱形ABCD=17:40?若存在,求出相應(yīng)t的值,并求出,P、E兩點間的距離;若不存在,說明理由.


【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何動點問題.

【分析】(1))由四邊形ABCD是菱形,OA=AC,OB=BD.在Rt△AOB中,運用勾股定理求出AB=10.再由△DFQ∽△DCO.得出.求出DF.由AP=DF.求出t.

(2)過點C作CG⊥AB于點G,由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD,求出CG.據(jù)S梯形APFD=(AP+DF)•CG.SEFD=EF•QD.得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)過點C作CG⊥AB于點G,由S菱形ABCD=AB•CG,求出CG,由S四邊形APFE:S菱形ABCD=17:40,求出t,再由△PBN∽△ABO,求得PN,BN,據(jù)線段關(guān)系求出EM,PM再由勾股定理求出PE.

【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB∥CD,AC⊥BD,OA=OC=AC=6,OB=OD=BD=8.

在Rt△AOB中,AB==10.

∵EF⊥BD,

∴∠FQD=∠COD=90°.

又∵∠FDQ=∠CDO,

∴△DFQ∽△DCO.

∴DF=t.

∵四邊形APFD是平行四邊形,

∴AP=DF.

即10﹣t=t,

解這個方程,得t=

∴當(dāng)t=s時,四邊形APFD是平行四邊形.

 

(2)如圖,過點C作CG⊥AB于點G,

∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD,

即10•CG=×12×16,

∴CG=

∴S梯形APFD=(AP+DF)•CG

=(10﹣t+t)•=t+48.

∵△DFQ∽△DCO,

=,

∴QF=t.

同理,EQ=t.

∴EF=QF+EQ=t.

∴SEFD=EF•QD=×t×t=t2

∴y=(t+48)﹣t2=﹣t2+t+48.

 

(3)如圖,過點P作PM⊥EF于點M,PN⊥BD于點N,

若S四邊形APFE:S菱形ABCD=17:40,

則﹣t2+t+48=×96,

即5t2﹣8t﹣48=0,

解這個方程,得t1=4,t2=﹣(舍去)

過點P作PM⊥EF于點M,PN⊥BD于點N,

當(dāng)t=4時,

∵△PBN∽△ABO,

=

=

∴PN=,BN=

∴EM=EQ﹣MQ=3﹣=

PM=BD﹣BN﹣DQ=16﹣﹣4=

在Rt△PME中,

PE==(cm).

【點評】本題主要考查了四邊形的綜合知識,用到的知識點有勾股定理、菱形的性質(zhì)、梯形的面積公式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程得解、平行四邊形的性質(zhì)等性質(zhì),題目的綜合性較強,對學(xué)生的綜合解題能力要求很高,是一道不錯的中考壓軸題.


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