Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．
（1）求證：AE•AO=BF•BO；
（2）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），求經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出此時(shí)的OF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，xy=k，即可得出AE•AO=BF•BO；
（2）利用E點(diǎn)坐標(biāo)首先求出BF=

4

3

，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（3）設(shè)折疊之后C點(diǎn)在OB上的對(duì)稱點(diǎn)為C'，連接C'E、C'F，過E作EG垂直于OB于點(diǎn)G，則根據(jù)折疊性質(zhì)、相似三角形、勾股定理得出即可．

解答：（1）證明：∵E，F(xiàn)點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，
∴根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，xy=k，
∴AE•AO=BF•BO；

（2）解：∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），
∴AE•AO=BF•BO=8，
∵BO=6，∴BF=

4

3

，
∴F（6，

4

3

），
分別代入二次函數(shù)解析式得：

c=0 4a+2b+c=4 36a+6b+c= 4 3

，
把c=0代入

c=0 4a+2b+c=4① 36a+6b+c= 4 3 ②

得：

2a+b=2 18a+3b= 2 3

，

解得：

a= - 4 9 b= 26 9

，
可得原方程組的解為：

a=- 4 9 b= 26 9 c=0

，
∴y=-

4

9

x²+

26

9

x；

（3）解：設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的C'點(diǎn)，
過點(diǎn)E作EG⊥OB，垂足為G．
由題意得：EG=AO=4，
把y=4代入y=

k

x

得：x=

1

4

k，把x=6代入y=

k

x

得：y=

1

6

k，
∴EC'=EC=6-

1

4

k，C′F=CF=4-

1

6

k，
∵∠EC'G+∠FC'B=∠FC'B+∠C'FB=90°，
∴∠EC'G=∠C'FB．
又∵∠EGC'=∠C'BF=90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B=EC'：C'F，
∴4：C'B=（6-

1

4

k）：（4-

1

6

k）=[3（2-

1

12

k）]：[2（2-

1

12

k）]，
∴C'B=

8

3

，
∵C'B²+BF²=C'F²，
∴（

8

3

^）2+（

1

6

k）²=（4-

1

6

k）²，
解得k=

20

3

，
∴BF=

k

6

=

10

9

，
∴存在符合條件的點(diǎn)F，它的坐標(biāo)為（6，

10

9

）．
∴FO=

3016

9

=

2 754

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合以及利用相似三角形的性質(zhì)是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．