Question

如圖，已知△ABC為等邊三角形，P為BC上一點，△APQ為等邊三角形．
（1）求證：AB∥CQ；
（2）AQ與CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出點P在BC上的位置，并給予證明；若AQ與CQ不能互相垂直，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根據SAS證△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根據平行線的判定推出即可．
（2）根據等腰三角形性質求出∠BAP=30°，求出∠BAQ=90°，根據平行線性質得出∠AQC=90°，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△ABC和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC，
在△ABP和△ACQ中

AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AQ

∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，
∴AB∥CQ．

（2）AQ與CQ能互相垂直，此時點P在BC的中點，
證明：∵當P為BC邊中點時，∠BAP=

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∠BAC=30°，
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°，
又∵AB∥CQ，
∴∠AQC=90°，
即AQ⊥CQ．

點評：本題考查了等邊三角形性質，全等三角形的性質和判定，平行線性質和判定，等腰三角形性質的應用，主要考查學生的推理能力．