如圖,在直角坐標(biāo)系中,⊙M與y軸相切于點C,與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,其中x1,x2是方程x2-10x+16=0的兩個根,且x1<x2,連接MC,過A、B、C三點的拋物線的頂點為N.
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)判斷直線NA與⊙M的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)一動點P從點C出發(fā),以每秒1個單位長的速度沿CM向點M運(yùn)動,同時,一動點Q從點B出發(fā),沿射線BA以每秒4個單位長度的速度運(yùn)動,當(dāng)P運(yùn)動到M點時,兩動點同時停止運(yùn)動,當(dāng)時間t為何值時,以Q、O、C為頂點的三角形與△PCO相似?
分析:(1)先解方程x2-10x+16=0求出兩根,確定A、B兩點的坐標(biāo),再連接AM,過點M作MD⊥AB于D,由垂徑定理得AD=
1
2
AB=3,D點的坐標(biāo)為(5,0),則⊙M的半徑為5,然后在直角△AMD中,運(yùn)用勾股定理求出MD的長,得到點C的坐標(biāo),最后運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點N的坐標(biāo),再分別計算AN、MN,在△AMN中由勾股定理的逆定理可得∠MAN=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可判斷直線NA與⊙M相切;
(3)由于0<t≤5,又t=2時,點Q運(yùn)動到原點,此時以Q、O、C為頂點的三角形不存在,所以分兩種情況討論:①0<t<2,即點Q在x軸正半軸上;②2<t≤5,即點Q在x軸負(fù)半軸上.又因為以Q、O、C為頂點的三角形與△PCO都是直角三角形,則直角頂點O與C對應(yīng),每一種情況又分為兩種:(Ⅰ)△QOC∽△PCO;(Ⅱ)△QOC∽△OCP.
解答:解:(1)解方程x2-10x+16=0,得x1=2,x2=8,
∴A(2,0),B(8,0).
連接AM,過點M作MD⊥AB于D,由垂徑定理得AD=
1
2
AB=3,
∴OD=OA+AD=2+3=5,
∴D點的坐標(biāo)為(5,0).
∵⊙M與y軸相切于點C,
∴⊙M的半徑AM=CM=OD=5.
在直角△AMD中,∵∠ADM=90°,
∴MD=
AM2-AD2
=4,
∴點C的坐標(biāo)為(0,4),點M的坐標(biāo)為(5,4).
設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a(x-2)(x-8),
將點C的坐標(biāo)(0,4)代入,得4=16a,
解得a=
1
4
,
∴y=
1
4
(x-2)(x-8)=
1
4
x2-
5
2
x+4.
故所求拋物線的解析式為y=
1
4
x2-
5
2
x+4;

(2)直線NA與⊙M相切,理由如下:
連接MN.
∵y=
1
4
x2-
5
2
x+4=y=
1
4
(x2-10x)+4=
1
4
(x-5)2-
9
4
,
∴頂點N的坐標(biāo)為(5,-
9
4
).
∵AN2=(5-2)2+(-
9
4
2=9+
81
16
=
225
16

AM2=52=25,
MN2=(4+
9
4
2=(
25
4
2=
625
16
,
∴AN2+AM2=MN2
∴∠MAN=90°,
又∵點A在⊙M上,
∴直線NA與⊙M相切;

(3)分兩種情況:
①當(dāng)0<t<2,即點Q在x軸正半軸上時,
CP=t,BQ=4t,OQ=OB-BQ=8-4t.
若△QOC∽△PCO,則OQ:CP=OC:CO,
∵OC=CO,
∴OQ=CP,
∴8-4t=t,
解得t=
8
5

若△QOC∽△OCP,則OQ:CO=OC:CP,
即(8-4t):4=4:t,
整理t2-2t+4=0,
∵△=4-16<0,
∴原方程無解;
②當(dāng)2<t≤5,即點Q在x軸負(fù)半軸上時,
CP=t,BQ=4t,OQ=BQ-OB=4t-8.
若△QOC∽△PCO,則OQ:CP=OC:CO,
∵OC=CO,∴OQ=CP,
∴4t-8=t,
解得t=
8
3
;
若△QOC∽△OCP,則OQ:CO=OC:CP,
即(4t-8):4=4:t,
整理t2-2t-4=0,
解得t=1±
5
(負(fù)值舍去).
綜上可知,當(dāng)t為
8
5
8
3
秒或(1+
5
)秒時,以Q、O、C為頂點的三角形與△PCO相似.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點有一元二次方程的解法,垂徑定理,勾股定理及其逆定理,運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,切線的判定,相似三角形的判定.在求有關(guān)動點問題時要注意分情況討論,這是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點的坐標(biāo)為
(24,0)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點P的坐標(biāo)為(3,4),將OP繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
的長度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點.反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點A,點A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點B,AC⊥x軸于點C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時,求點D的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時滿足下列兩個條件:
(1)以原點O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標(biāo)上相應(yīng)字母)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點A(-4,0),B(0,3),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形(1),三角形(2),三角形(3),三角形(4),…,

(1)△AOB的面積是
6
6
;
(2)三角形(2013)的直角頂點的坐標(biāo)是
(8052,0)
(8052,0)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案