17.如圖,點D為等腰直角△ABC內一點,∠ACB=90°,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上一點,且CE=CA,給出以下結論:①DE平分∠BDC; ②△BCE是等邊三角形;③∠AEB=45°;④DE=AD+CD;正確的結論有①②③④.(請?zhí)钚蛱枺?

分析 ①先根據(jù)等腰直角三角形的性質及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°,則AD=BD,再證明CD是邊AB的垂直平分線,得出∠ACD=∠BCD=45°,然后根據(jù)三角形外角的性質求出∠CDE=∠BDE=60°即可;
②先利用等角對等邊證BC=CE,再推得∠BCE=60°可得結論;
③利用差可求得結論:∠AEB=∠BEC-∠AEC;
④截取DG=DC,證明△DCG是等邊三角形,再證明△ACD≌△ECG,利用線段的和與等量代換可得結論.

解答 解:①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分線上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分線上,
即直線CD是AB的垂直平分線,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°,
∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
∴∠CDE=∠BDE,
即DE平分∠BDC;
所以①正確;
②∵CA=CB,CA=CE,
∴CB=CE,
∵∠CAD=∠AEC=15°,
∴∠ACE=180°-15°-15°=150°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE=150°-90°=60°,
∴△BCE是等邊三角形;
所以②正確;
③∵△BCE是等邊三角形,
∴∠BEC=60°,
∵∠AEC=15°,
∴∠AEB=60°-15°=45°,
所以③正確;
④在DE上取一點G,使DC=DG,連接CG,
∵∠EDC=60°,
∴△DCG是等邊三角形,
∴DC=DG=CG,∠DCG=60°,
∴∠GCE=150°-60°-45°=45°,
∴∠ACD=∠GCE=45°,
∵AC=CE,
∴△ACD≌△ECG,
∴EG=AD,
∴DE=EG+DG=AD+DC,
所以④正確;
正確的結論有:①②③④;
故答案為::①②③④.

點評 本題考查了等腰三角形、全等三角形的性質和判定、等腰直角三角形、等邊三角形等特殊三角形的性質和判定,熟練掌握有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形這一判定等邊三角形的方法,在幾何證明中經(jīng)常運用,要熟練掌握.

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解答下列問題:
(1)當△DEC旋轉到圖2的位置時,交錯連接對應頂點得到△BDC和△AEC,寫出△BDC和△AEC的面積的數(shù)量關系,并證明你的結論;
(2)如圖3,若連接誒對應頂點得到△ACD和△BCE,求證:S△BCE=3S△ACD
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