已知:一條拋物線的開(kāi)口向上,頂點(diǎn)為A(-2,0),與y軸相交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作BC∥x軸,交拋物線于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB,交x軸于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)試探索:AC與BD能否互相垂直?如果能,請(qǐng)求出以這條拋物線為圖象的二次函數(shù)的解析式;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)根據(jù)題意,得點(diǎn)B、C關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為0,
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-4.
∴BC=4.
∵BC∥AD,CD∥AB,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴AD=4.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-6,0).

(2)能.
要使AC與BD互相垂直,必須使平行四邊形ABCD是菱形,
即AB=BC=4.
∵AO=2,∴,即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,).
設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=a(x+2)2
代入點(diǎn)B的坐標(biāo),得

∴當(dāng)二次函數(shù)的解析式為時(shí),AC⊥BD.
分析:(1)本題需先求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo),再通過(guò)證明四邊形ABCD是平行四邊形,求出AD的長(zhǎng)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)本題需先根據(jù)題意求出BO的長(zhǎng),即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求出a的值,即可得出結(jié)果.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,在解題時(shí)要能把二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與平行四邊形及菱形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵.
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已知直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A(-4,3),點(diǎn)B在x軸上,△AOB是等腰三角形.
(1)求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求過(guò)O,A,B三點(diǎn)且開(kāi)口向下的拋物線的函數(shù)表達(dá)式(只需求出滿足條件的一條即可);
(3)在(2)中求出的拋物線上存在點(diǎn)P,使得以O(shè),A,B,P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積.

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(1)求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求過(guò)O,A,B三點(diǎn)且開(kāi)口向下的拋物線的函數(shù)表達(dá)式(只需求出滿足條件的一條即可);
(3)在(2)中求出的拋物線上存在點(diǎn)P,使得以O(shè),A,B,P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積.

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(1)求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求過(guò)O,A,B三點(diǎn)且開(kāi)口向下的拋物線的函數(shù)表達(dá)式(只需求出滿足條件的一條即可);
(3)在(2)中求出的拋物線上存在點(diǎn)P,使得以O(shè),A,B,P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積.

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