Question

如圖①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度是β．
（1）如圖②，當(dāng)β=

 

°（用含α的代數(shù)式表示）時(shí)，點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上；
（2）如圖③，連接BB′、CC′，CC′的延長(zhǎng)線交斜邊AB于點(diǎn)E，交BB′于點(diǎn)F．請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)相似三角形

 

，

 

（不含全等三角形），并選一對(duì)證明．

Answer 1

分析：（1）先求出∠BAC的度數(shù)，然后180°-∠BAC可得出答案；
（2）具有兩個(gè)角相等的三角形是相似三角形，由此結(jié)合圖形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出答案．

解答：解：（1）∵∠ABC=α，
∴∠BAC=90°-α，
∴β=∠90°+α；

（2）圖中兩對(duì)相似三角形：①△ABB′∽△ACC′，②△ACE∽△FBE，
證明①：∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角β得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′
∴

AC

AB

=

AC′

AB′

∴△ABB′∽△ACC′；
證明②：∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角β得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′，
∴∠ACC′=∠ABB′=

180°-β

2

，
又∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)及相似三角形的判定，有一定難度，注意熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．