Question

（2013•十堰模擬）如圖已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)P（1，4）．則下列結(jié)論中：
①ac＜0；②2a+b=0；③b＜8；④當(dāng)m＜4時(shí)，方程ax²+bx+c-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
正確的結(jié)論有（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：由拋物線開(kāi)口向下得a＜0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得c＞0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1可對(duì)②進(jìn)行判斷；由頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）得到a+b+c=4，即2a+2b+2c=8，然后把2a=-b代入得到b=8-2c，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的最大值為4，即ax²+bx+c≤4，則當(dāng)m＜4時(shí)，有兩個(gè)自變量的值滿足ax²+bx+c=m，
于是可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴2a+b=0，所以②正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4），
∴a+b+c=4，即2a+2b+2c=8，
而2a=-b，
∴b=8-2c，
∵c＞0，
∴b＜8，所以③正確；
∵二次函數(shù)的最大值為4，即ax²+bx+c≤4，
∴當(dāng)m＜4時(shí)，有兩個(gè)自變量的值滿足ax²+bx+c=m，
即方程ax²+bx+c-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以⑤正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），a決定拋物線的開(kāi)口方向和大��；當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；②b和a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于（0，c）．